どなたか二次関数を教えて頂けないでしょうか

どなたか二次関数を教えて頂けないでしょうか




aを実数の定数とする。ｘの二次関数
y=-x＾2＋2ax-4a-12...(1)
のグラフをCとする。
Cの頂点をPとすると、
P(a,a＾2-アa-イウ)
である。
(1)Cがx軸と異なる二点で交わるようなaの値の範囲は
a＜エオ,カ＜a
である。
(2)二次関数(1)の最大値が20となるようなaの値は
a=キク,ケ
である。
(3)a=ケのとき、
f(x)=-x＾2＋2ax-4a-12
とし、kを正の定数とする。
k≦x≦4kにおけるf(x)の最大値が20で、最小値がf(4k)となるようなk
の値の範囲は
コサ/シ≦k≦ス
である。このとき、g(k)=f(k)-f(4k)とすると、g(k)のとりうる値の範囲は
セ≦g(k)≦ソタチ
である。

これが全く分かりません。
どなたか助けて下さい。
よろしくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： kyouken001 回答日時： 2010/08/13 20:20

微分を習っているとすると

y'=-x+2a

この式の意味はグラフの接線の傾きなので、これが0の時、頂点のxの値になります。

x=a

(1)式に代入して

y=-a^2+2a×a-4a-12
y=-a^2+-a^2-4a-12
y=a^2-4a-12

P(a,a＾2-4a-12)

(1)グラフは上に凸なので、グラフがX軸と2点で交わる場合、頂点Pのyの値が0よりも大きければよいという事なので。

a＾2-4a-12>0

(a-6)(a+2)>0...(2)

a<-2、6<a
となります。（(2)式に代入して、0以上になるか確認してみて。）

(2)グラフは上に凸なので、頂点で最大値をとります。頂点のyの値が20になればよいので、、、

a＾2-4a-12=20
a＾2-4a-32=0
(a-8)(a+4)=0

a=-4、8
となります。

(3)a=8のとき、
f(x)=-x^2＋16x-44

まず、上に凸のグラフのf(x)が、f(4k)で最小値をとるので、頂点はk≦x≦4kの半分より右側、X≦2kにありそうです。
f(x)の頂点を求めて見ましょう。ちなみに頂点は（2）で20となるようにa=8を求めて、今、a=8を代入しているので

頂点はすでに自明ですが（元々、今までの回答から、頂点がx=8、y=20となるようなa=8だったので。）
微分して、xの値を求めて、f(x)に代入の解き方で確認してみてください。
（8、20）になるはずです。

これが、k≦x≦4kの間で、最大値20（X=8）、最小値がx=4kとなるわけですから、、
頂点はk≦X≦2kにあるはずです。
k≦8≦2k
これを整理すると
4≦k≦8？？あれ？？

g(k)=f(k)-f(4k)
g(k)=（-k^2＋16k-44）-（-16k^2＋64k-44）
g(k)=15k^2-48k


後は、同じく、頂点を求めてみて、頂点が4≦k≦8の中にあるならば、頂点がg(k)の最大値
頂点が4≦k≦8の中になければ、k=4、8の代入したものが、最小値と、最大値です。

というわけで、4≦k≦8時点で、どこかで間違えているので、
色々と考えながら、確認しながら、計算してみてください。

お助けできなくて、すみませんでした。

No.1 回答者： Willyt 回答日時： 2010/08/13 19:20

問題の丸投げはいけませんね。

この問題は二次関数のグラフの最も基本的な知識を問う易しい問題です。これが全く分からないようでは先へ進みませんよ。ですから、解くときの方針だけを書いておきますから、自分でよく考えながら解いてください。

１．ｙ=0 とくのがｘ軸との交点を求めるときの常道です。するとｘに関する二次方程式になります。これが二つの解を持つためにはこの式の判別式が正であることが必要十分条件です。

２．与式の平方を完成します。つまり　ｙ= -α(x-β)^2 + γ　の形に変形すると最大値がγであることがわかりますね。

３．これはａの値が計算できれば最大値が決まってしまいます。ですからa は２で計算した値を使うことで解けます。