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e^(ax)の微分と積分

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  • 質問者：nene2010
  • 質問日時：
  • 回答数：1件

e^(ax)の微分と積分

e^x'=e^x
∫e^x dx=e^x
ですが、
e^(ax)'=a*e^(ax)
∫e^(ax)dx=(1/a)*e^(ax)
で合ってますか？

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「eの積分」に関するQ&A： eの積分

A 回答 (1件)

No.1ベストアンサー

  • 回答者： R_Earl
  • 回答日時：

aが定数なら合っています。



細かい事を言うなら、積分の方は積分定数が必要です。
    • good
    • 1
    • 件
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この回答へのお礼

よかったです。ありがとうございます
Cいつもつけ忘れてしまいます

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お礼日時：2010/08/17 15:19

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「eの積分」に関するQ&A： e^-2xの積分

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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x　は、　t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x　を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x　の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか？

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか？？

Aベストアンサー

まず、全部　積分定数Ｃが抜けています。また、積分の前につけるものは　“インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます　∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx＝Ｆ(x)の時、
(d/dx)Ｆ(x)＝f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a＝a*x^(a-1)になります　…高校数学の数３で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx＝(1/a)*x^a＋Ｃ
→∫x^adx＝{1/(a+1)}*x^(a+1)＋Ｃ
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx＝∫x^(-2)dx
＝{1/(-2+1)}*x^(-2+1)＋Ｃ
＝－x^(-1)＋Ｃ
＝－１／ｘ＋Ｃ

です。

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Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学１年のものです。

(e^x)'＝e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、２つほど見つけたのですが、

１）
y＝e^x
logy＝x
(1/y)y'＝1
よって　 y'＝y＝e^x



２）　　e^xを無限級数に直して微分



１）の場合d(logx)/dx＝1/x…(＊)を利用していますが、(＊)は(e^x)'＝e^xを利用せずに証明できるのでしょうか？

２）の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'＝e^xを利用しなければならないような気がします。



１）、２）とも(e^x)'＝e^xの証明に(e^x)'＝e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'＝lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'＝e^xはなぜ成り立つのでしょうか？
よろしくお願いします。

大学１年のものです。

(e^x)'＝e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、２つほど見つけたのですが、

１）
y＝e^x
logy＝x
(1/y)y'＝1
よって　 y'＝y＝e^x



２）　　e^xを無限級数に直して微分



１）の場合d(logx)/dx＝1/x…(＊)を利用していますが、(＊)は(e^x)'＝e^xを利用せずに証明できるのでしょうか？

２）の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」１）も２）も(e^x)'＝e^xを用います。
従って１）にも２）にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(＊)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(＊)はtを用いて
(＊)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ：項数が増え
ロ：個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + ……　+ 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界（どんなnをとってきても(1+1/n)^n＜MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3）です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
（証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います）

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(＊)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する（収束値をeと名付ける）
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

（注：冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう）

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明（あるいは公理の必然性）をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」１）も２）も(e^x)'＝e^xを用います。
従って１）にも２）にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(＊)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

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Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
を教えてください。

それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
Ln(x)でも良いのでしょうか？

30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
なのでLn(x)と同じ意味です

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Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか？
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの（1/4）円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe＾-x＾2　をｘ方向に積分すると、
∫[0→a]e＾-x＾2dx
正方形の領域だからe＾-y＾2 をｙ方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e＾-x＾2dx=∫[0→a]e＾-y＾2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e＾-(x＾2+y＾2)dxdy
={∫[0→a]e＾-x＾2dx}＾2
という関係が出ますね。
だから、e＾-(x＾2）を積分する代わりにe＾-(x＾2+y＾2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e＾-(x＾2+y＾2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x＾2+y＾2)=r＾2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e＾-(r＾2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e＾-a＾2)(π/2)=(π/4)(1-e＾-a＾2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e＾-(2a＾2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e＾-a＾2)}＜∫[0→a]e＾-(x＾2)dx
＜√{(π/4){1-e＾-(2a＾2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e＾-(x＾2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの（1/4）円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe＾-x＾2　をｘ方向に積分すると、
∫[0→a]e＾-x＾2dx
正方形の領域だからe＾-y＾2 をｙ方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e＾-x＾2dx=∫[0→a]e＾-y＾2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e＾-(x＾2+y＾2)dxdy
={∫[0→a]e＾-x＾2dx}＾2
という関係が出ますね。
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Qeのマイナス無限大乗

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T：定数

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数学的に1になる理由が分かりません。

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e^(-n) = (1/e)^n
であり、
0<|1/e|<1
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Qeの微分の公式について

e^xの微分はe^xですが
e^f(x)の微分はf'(x)e^f(x)でいいのでしょうか？
ネットで調べたのですが、e^xの微分の公式の説明ばかりだったので教えてください

Aベストアンサー

あってますよ。
普通に検索すると、確かに見つけにくいですね^^
http://www-antenna.ee.titech.ac.jp/~hira/hobby/symbolic/derive.html

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Qexp(f(x))の積分方法

もう一つ教えてください。
exp(f(x))の積分方法はどうやって計算するのでしょうか。
先ほど教えていただいた
http://www-antenna.ee.titech.ac.jp/~hira/hobby/symbolic/derive.html
にも載っていませんでした。

私が持っている微分積分の公式集ではexp(ax)=(1/a)e^axということしか載っていませんでした。
解る方お願いします。

Aベストアンサー

微分ができるのは、微分の結果を表す関数が定義された関数（初等関数と呼ばれている）だけで表現できるからです。
所が積分結果を表す関数が初等関数の中になければ積分結果を関数で表すことができません。つまり公式集に全ての初等関数の組み合わせで作られた関数の積分結果を表す関数が初等関数の組み合わせで書き表せないケースが多く存在します。つまり積分公式集に書けない関数が存在します。
e^(x^2), sin(k*cos(2x))などは積分結果を式で表現できません。
しかし関数が存在するわけですから数値積分や積分範囲が決められた定積分などは可能です。積分結果は数値として出てきます。
積分結果が初等関数で表せない場合の積分は、数値積分の他に、特殊関数（多くは積分形式で定義されていることが多い）で表す場合があります。

微分公式集は左の列に「微分される関数」、右の列に「微分結果」を書いてあります。
（不定）積分は微分の逆ですから、微分公式集の左の列と右の列を入れ替えて、左の列に「被積分関数」、右の列に「積分結果」と書けば済みます。
そうは言っても、使い安い微分公式集や積分公式集になるわけではありません。
左側の列には通常積分または微分したい関数の形で並べてないと使いやすい公式集といえません。
微分公式集の場合
e^f(x)→f'(x)e^f(x)
積分公式集の場合
f'(x)e^f(x)→e^f(x)
と形式上はなりますが
積分公式集の場合
xe^{(x^2)/2}→e^{(x^2)/2}
e^{(x^2)/2}→ nan
cos(x)e^sin(x)→e^sin(x)
(1/x)e^log(x)→e^log(x)
などを一覧に書き出しておけば使い物になります。

使いやすい積分公式集を作ってください。

微分ができるのは、微分の結果を表す関数が定義された関数（初等関数と呼ばれている）だけで表現できるからです。
所が積分結果を表す関数が初等関数の中になければ積分結果を関数で表すことができません。つまり公式集に全ての初等関数の組み合わせで作られた関数の積分結果を表す関数が初等関数の組み合わせで書き表せないケースが多く存在します。つまり積分公式集に書けない関数が存在します。
e^(x^2), sin(k*cos(2x))などは積分結果を式で表現できません。
しかし関数が存在するわけですから数値積分や積...続きを読む

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Q波長（nm）をエネルギー（ev）に変換する式は？

波長（nm）をエネルギー（ev）に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
　Ｅ = hc/λ[J]
　　 = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら　Ｅ = hc×10^9/eλ　です。
あとは、
　h = 6.626*10^-34[J・s]
　e = 1.602*10^-19[C]
　c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
　E≒1240/λ[eV]
となります。

＞例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
＞合っているのでしょうか？
λに 540[nm] を代入すると
　E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

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Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
（英語）
curly d,　rounded d,　curved d,　partial,　der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
（日本語）
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと（数学、物理学、経済学、工学など）の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

（１）
工学系の私は，式の中では「デル」，単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが，あとは寡聞にして知りません。

（３）
初心者へのお勧めとは，なかなかに難問ですが，ひと通り教えておいて，式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

（４）
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは，あったら私も教えて欲しいです。

（２）
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは，質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

＊すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

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