数III「漸化式と極限」の「はさみうちによる極限」の解法について

数III「漸化式と極限」の「はさみうちによる極限」の解法について

使っている問題集の解説に

数列{a_n}について、
漸化式の不動点αと0<k<1を満たす定数kがあって、|a_n-α|<k<|a_(n-1)-α|
ならば、
lim(n→∞)=α

とありました。
証明はわかりました。

これについて、逆は真ですか？（書き方から偽という感じですが…）
偽なら、反例もお願いします。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2010/08/19 16:04

＞ それは、両辺が０になるから不等号が成立しないということですよね？

違います。
右辺だけ０になるから、＜ だろうと、≦ に改訂しようと、成立しない
ということです。

No.3 の例で、n が偶数の場合に何が起こるか考えてみましょう。
それが、小さい n に対して一過性に起こるのではなく、
n を値が大きい範囲に限定しても起こることに注目して。

No.4 回答者： f272 回答日時： 2010/08/19 11:29

a_nがすべて正でα=0の場合だけ考えるとして，聞きたいのは

a_nが0に収束するとき，a_nはnが大きくなると必ず等しいか小さくなるか？
ということでしょう。明らかに成り立ちませんね。

nが大きくなるとき，a_nがいったん大きくなってから，その後0に近づいていく数列などいくらでも考えられます。例えばa_n=1/(n^2-4n+5)とか。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/08/18 22:22

それなら、

反例 a_n = α + (1/n) cos(nπ/2) なんてどう？
n→∞ の途中で、何度も、
a_n = α となる n があるから、
∃k, |a_n - α| < k |a_(n-1) - α| にはならない。

この回答への補足

なるほど。
それは、両辺が０になるから不等号が成立しないということですよね？
それならば、 |a_n - α| < k |a_(n-1) - α|
ではなく、 |a_n - α| ≦ k |a_(n-1) - α|
ならば、一般に逆は真ですか？

質問ばっかりごめんなさい

補足日時：2010/08/18 23:21

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/08/18 20:39

証明、わかっちゃっていいんですか？

逆以前に、その命題が変なのですが。

∀n, |a_n - α| < k < |a_(n-1) - α|
だと、文脈とは独立に、式を見ただけで、
成立し得ない式であることが判ります。

n をひとつずらすと、何が起こりますか？

この回答への補足

ごめんなさい。タイピングミスでした。

|a_n-α|<k<|a_(n-1)-α|ではなく、

|a_n-α|<k|a_(n-1)-α|

でした。

これならば、逆はどうですか？><

補足日時：2010/08/18 21:45

No.1 回答者： R_Earl 回答日時： 2010/08/18 18:37

> 偽なら、反例もお願いします。

a_n = 定数

という数列が反例になると思います。
例えばa_nの一般項がa_n = 3ならば
lim(n→∞)a_n = α = 3です。
この時|a_n-α| < k < |a_(n-1)-α|は成り立ちませんね。