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できたら今日中に回答していただけたらありがたいです。

[0,1]上の関数f(x)を
f(x)={1(xは有理数)、0(xは無理数)}と定義する。

fの[0,1]上の上積分∫f(x)dx(xは0から1まで)、下積分∫f(x)dx(Xは0から1まで)を求めよ。

A 回答 (1件)

上積分


区間[0,1]をn等分してその区間内の上限(今は最大値と同じ)と区間の幅とをかけたものの和を考える。
区間をどのように分割しても必ず有理数が含まれるから
すべての区間で最大値は1
すると
和(分割された区間)*1=(全区間)*1=1
n→∞の極限を取るのだが、答がすでにnに関係のない
定数になっているので極限値も同じ

下積分
同じように、どのように分割しても無理数は含まれるから
すべての区間で下限(最小値)は0
和(分割された区間)*0=(全区間)*0=0

あえて記号を使わないで書きました。使うと書くのが
面倒ということも有りますが。

この場合上積分と下積分の答が違うので普通の意味での
積分(リーマン積分)は出来ない。

私が上積分の意味を取り違えていなければこれで良いと
思います。
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Qカタラーゼ酵素の最適phとは?

カタラーゼ酵素の最適phを教えていただけないでしょうか?

また人の体とphについての関係など知っている方は教えていただけないでしょうか?

詳しいサイトなどのアドレスも教えていただきたいと思います。
「教えて」ばかりで申し訳ありませんが、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ

カタラーゼ・・・懐かしいですね。
至適PHなんて、考えた事もありませんでしたが。


製品を見る限り、PH6~9で使用可能という事ですので、
かなり柔軟性があるのですね。
また、酵素をさらに働きやすくする補助因子が働きますので
人体ではこの限りでもないようです。
とりあえず最適PHについても参考になりそうなウエブを張っておきます。
http://133.100.212.50/~bc1/Biochem/biochem5.htm
http://www.tuat.ac.jp/~seibutu/31kouso.htm
http://members.ytv.home.ne.jp/makasaka/seibutu/kouso/kouso.html
など、グーグルを使用してみて下さい。結構ヒットします。
http://www.google.co.jp/search?q=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%82%BC%E3%80%80%EF%BC%B0%EF%BC%A8&hl=ja&lr=&c2coff=1&start=10&sa=N


最適phはいくつか?と言われると答えに窮してしまいますが、それは以下の理由によるものです。
●過酸化水素水を水と二酸化炭素にしてくれるのがカタラーゼですね。
ちなみに25℃の時で30%過酸化水素水のpHは4.7、100%の場合は6.2だそうですが、これは参考になりません。

なぜならば、活性酸素( http://hobab.fc2web.com/sub2-kasseisanso.htm )
が発生すると、すぐにSODが働き、さらにカタラーゼ君が働いて無毒化を行うわけですよね。

これらの作用が、細胞の一部(貪食胞のファゴリソゾームなど)でごく短い時間に繰り返されるわけですから、当然PHは大きく変動する筈です。
ですから、カタラーゼ酵素の至適PHにはある程度幅がないとあまり意味がないのです。

十年以上前の知識で書いていますので、詳しいところは調べてみて下さい。
グーグルですぐですよ♪

こんばんわ

カタラーゼ・・・懐かしいですね。
至適PHなんて、考えた事もありませんでしたが。


製品を見る限り、PH6~9で使用可能という事ですので、
かなり柔軟性があるのですね。
また、酵素をさらに働きやすくする補助因子が働きますので
人体ではこの限りでもないようです。
とりあえず最適PHについても参考になりそうなウエブを張っておきます。
http://133.100.212.50/~bc1/Biochem/biochem5.htm
http://www.tuat.ac.jp/~seibutu/31kouso.htm
http://members.ytv.home.ne.jp/makasa...続きを読む

Q一様連続でないの厳密な証明は?

微分積分の期末テストで次の問題が出ました。

次の命題の正誤を答えよ。ただし理由も与えること。

命題:関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続である。

この問題で自分は次のように解答しました。

(証)αを与えられた区間内の任意の要素とし、εを任意の整数とする。

あるδとしてmin.(ε/2|α|+1,1)とする。

このとき|x-α|<δ⇒|f(x)-f(α)|=|x^2-α^2|=|xーα|・|x+

α|<・・・・・(略)<δ(2|α|+1)<ε

となり、故にf(x)=x^2は区間[0,∞)で一様連続でない。(なぜなら、δがε

だけでなくαにも依存するから)

この解答で一応マルはもらえたのですが、はじめにδを上のようにしたものだけを考

えていい理由は何なんですかね?もしかしたらεだけでδを表せるかもしれないの

に。考えてはみてるんですがなかなか納得のいく答えが見つかりません。よかった

ら力になってください。よろいくお願いします。

Aベストアンサー

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の問題(ε-δの応用問題は大体そうです)
を考える時は命題を論理式で書いておくと証明すべきことが見やすくなります。
まず「関数f(x)が区間[a,b)で連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∀α∈[a,b) ∃δ>0  ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)
でしたね。つまりこの場合δはεとαの両方に依存しても構わない。
一方「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∃δ>0 ∀α∈[a,b) ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)……(1)
となります。変数δとαに関する記述の位置が入れ替わっていることに注意して下さい。
この場合δはεだけに依存します。
そして「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続でない」という命題はこれの否定命題ですから
∃ε>0 ∀δ>0 ∃α∈[a,b) ∃x(|x - α| < δ かつ |f(x) - f(α)| ≧ ε)……(2)
となります。(論理式の変形規則についてはご存知でしょうね)

つまり「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことを証明するためには,具体的なεと任意のδをとってきてそのε,δの組に
対して(2)式の括弧内の条件を満たすようなα,xがとれることを示せば良いのです。
これを示しましょう。

ε=1/2とし,任意のδを1つ固定し, α≧ 1/(2δ) とします。
x= α+(δ/2) とするとxは(1)式の前提条件
|x - α| < δ を満たします。しかし
|f(x) - f(α)|= |x^2 - α^2| = | (α+(δ/2))^2 - α^2 |= | αδ + δ^2/4 |≧ 1/2 =ε
ですから一様連続でないことがいえました。          ■

証明が間違っているにも関わらず先生が○をくれた理由は推測するしかありませんが
(1)一応「一様連続でない」という結論はあっているので、
証明も正しいものと勘違いした
(2)実は先生もわかってない(まさかね^^;)
(3)一応「一様連続でない」という結論はあっていることと
証明を読んで(間違いではあるものの)一様連続性についても
一応は理解しているものと判断して○にした。

というところが考えられますが本当のところ先生に聞いてみた方が良いでしょうね。

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の...続きを読む

Q吸熱反応が起こる理由は?

吸熱反応が起こる理由について教えて頂きたく、質問させて頂きました。
吸熱反応では、反応物より生成物のエネルギー(エンタルピー?)の方が大きくなると思います。したがって、吸熱反応は進行しにくいことが考えられると思われます。しかし、実際に(1)塩化アンモニウムの溶解や(2)窒素と酸素からの一酸化窒素の生成などの吸熱反応は進行しますよね。
これらの事柄を理解するためにエントロピーの概念が必要になるのではと思うのですが、上記(1)(2)のような反応において、どうしてエントロピーが増大するのかがわかりません。(なんとなくイメージできません。)
このことについて、ご教授頂ければありがたく思います。
また、失礼とは存じますが高校生や大学1年次生程度が理解できるように教えていただけると助かります。

Aベストアンサー

> どうしてエントロピーが増大するのか

エントロピーは要するに乱雑さの尺度です.
(1)についていえば,結晶状態よりイオンが溶解して溶液中にばらばらといる方が,当然,そのイオンについては乱雑さは増しているわけです.
(2)については分子数も変わらないし,どれも2原子分子の気体ですから運動自由度も同じです.この場合は要するに順列組み合わせの問題です.乱雑さは言い替えれば取り得る状態の数の多さです.N2 1分子と O2 1分子では各原子について考えていくと,組み合わせ方は Na-Nb Oa-Ob の組み合わせ方1種類しかありえません.反応後に2分子の NO になると,Na-Oa + Nb-Ob という組み合わせと Na-Ob + Nb-Oa という組み合わせ方の2種類が可能なので,こちらの方がエントロピーは大きいということになります.

Q難問です。。。

ちょっと難問です。ステアリン酸(分子量284)0.0300gをベンゼンに溶かし100mlとする。この溶液を1滴ずつ水槽の水面に滴下すると、ステアリン酸の単分子膜を形成して広がり、0.100ml滴下したときの単分子膜の面積は140cm^2であった。ステアリン酸1分子の断面積を2.20*10^-5(10のマイナス5乗)として次の問いに答えよ。

(1)このベンゼン溶液0.100ml中のステアリン酸の物質量は何molか。
(2)この単分子膜にはステアリン酸分子が何個含まれているか。
(3)この実験結果からアボガドロ定数を求めよ。
(4)この単分子膜の密度をd{g/cm^3}とするとステアリン酸1分子の長さはどう表せるか。

低脳な私にはさっぱり分かりません。化学が苦手(だけど好き)なので、どなたか丁寧に、分かりやすく、教えてください。どうか、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

まず、問題文中で不明確なことがあったので、確認します。
>ステアリン酸1分子の断面積を2.20*10^-5(10のマイナス5乗)として

これ単位は何ですか?cm^2かとも思ったのですが、それだと直感的に大きすぎるし、最終的な計算もあわないし。ので、たぶん2.20*10^-15(10のマイナス15乗)cm^2 ではないかと勝手に推測しています。


(1) 分子量284のステアリン酸0.0300gは何molですか?分子量は物質が1molあったときの質量ですから、
1mol : 284g = x mol : 0.0300g
のxが、100mlのベンゼン中に含まれるステアリン酸の物質量です。
100ml中に x (mol)含まれているので、0.100ml中にはどれくらいあるのかは計算できますね。

(2)ステアリン酸は脂肪酸です。これは疎水性のしっぽと親水性の頭をもちます。そして、下の図のように水面上にうすい一層の膜を作ることができます。これを単分子膜と呼びます。

ベンゼン側
||||||||||||||||||
○○○○○○○○○○○○○○○○○○
水側


単分子膜の面積と、ステアリン酸一分子あたりの断面積の比を見れば、単分子膜中にステアリン酸が何個含まれるか計算できますね。


(3) アボガドロ定数は、物質1molあたりに含まれる分子の個数です。単位を書くとすれば、[個/mol]となります。(1)と(2)の結果から、[mol数]と、[それに相当する分子の個数]を式でつなげますので、アボガドロ定数が実験的に計算できます。
※アボガドロ定数として知られている実際の数値は6.02*10^23ですが、計算結果はこの数値から多少ずれる可能性があります。

(4)
単分子膜を直方体と考えてみてください。底面積は140cm^2で、高さ(=ステアリン酸分子の長さ)をy (cm)とおきます。体積は140y (cm^2)となりますね。この直方体の質量はいくらですか?では密度はyを用いて表すとどうなる?この密度=dなので、yについて解いておしまい。

以上ですが、わからないことがあればきいてください。

まず、問題文中で不明確なことがあったので、確認します。
>ステアリン酸1分子の断面積を2.20*10^-5(10のマイナス5乗)として

これ単位は何ですか?cm^2かとも思ったのですが、それだと直感的に大きすぎるし、最終的な計算もあわないし。ので、たぶん2.20*10^-15(10のマイナス15乗)cm^2 ではないかと勝手に推測しています。


(1) 分子量284のステアリン酸0.0300gは何molですか?分子量は物質が1molあったときの質量ですから、
1mol : 284g = x mol : 0.0300g
のxが、100mlのベンゼン中に含まれるステア...続きを読む

Q「区分的に連続」と「区分的に滑らか」の概念について

フーリエ級数について勉強しているのですが、
「区分的に連続」と「区分的に滑らか」の理解が非常に曖昧です。

(1)
「区分的に連続」な関数の私のイメージは
周期の変わり目で不連続であってもいいけど、その不連続点の前後で発散していない関数、
なのですが、どこか不十分でしょうか?

(2)
「区分的に滑らか」な関数とは、
「その関数が区分的に連続、かつ1階導関数が区分的に連続」な関数とテキストでは説明されているため、
「区分的に滑らか」ならば「区分的に連続」である、と理解しているのですが、
これは正しいでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(1) 「区分的に連続」の定義に、文献ごとのブレはないのか?
が少々不安な気はします。私の知っている定義は、
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/linearalg02/node4.html
のようなモノです。

「その不連続点の前後で発散していない関数」とは、
リンク先の 条件2 のことを言わんとしているようです。
この流儀では、ただ有限個の除外点以外で連続なだけではない
のです。フーリエ級数を扱うときには、この意味での
「区分的に連続」な関数が登場しますね。


(2) 「区分的に滑らか」の方は、その説明ではマズイ
ような気もします。「滑らか」も、文脈ごとにブレのある用語ですが、
概ね「任意階微分可能であること」を指すようです。
複素関数なら、1階微分可能と任意階微分可能は同じことですが、
「区分的に滑らか」と言うときには、実関数を考えていることが
多いように思います。実関数の意味では、1階微分可能な関数が
任意階微分可能とは限りません。

ただし、フーリエ級数を扱うときには、
「区分的に連続、かつ1階導関数が区分的に連続」な関数が
登場するので、ソレを「区分的に滑らか」と呼んでしまうような
流儀があるのかも知れません。

どうなんでしょうね。

(1) 「区分的に連続」の定義に、文献ごとのブレはないのか?
が少々不安な気はします。私の知っている定義は、
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/linearalg02/node4.html
のようなモノです。

「その不連続点の前後で発散していない関数」とは、
リンク先の 条件2 のことを言わんとしているようです。
この流儀では、ただ有限個の除外点以外で連続なだけではない
のです。フーリエ級数を扱うときには、この意味での
「区分的に連続」な関数が登場しますね。


(2) 「区分的に滑らか」...続きを読む

Q上極限、下極限が理解できません

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。


X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。

こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

上極限

sin(n)で考えましょう。nは自然数です。
sin(n)は振動しているので極限はないけど、
「nが大きい時(というか初めからだけど)1を超えることはない」
「1付近の値を何回も(無限回)とる」
から1が上極限です。
ことばでいえば、
「ずっと先のほうでは、上極限の値より大きくならない」
(極限の意味でです。∀ε>0に対し上極限+εより大きくならないってことです)



この例では下極限はー1ですね。

(sin(n)-1)*n の場合だと、
上極限は0で、下極限は「なし」(-∞)となりますね。

Q緊急:1/(2+sinx) の積分

∫1/(2+sinx) dx です。

いくら考えてもわかりません。
どなたかお教え願えると幸いです。

Aベストアンサー

tan(x/2)=tと置いて
sinx=2t/(1+t^2)
dx/dt=2/(1+t^2)なので
∫1/(2+sinx)dx
=∫1/{2+(2t/(1+t^2))}・(2/(1+t^2))dt-->このへん見づらくてスミマセン
=∫2/(2+2t+t^2)dt
=∫1/(t^2+t+1)dt
=∫1/{(t+1)^2+(3/4)}dt
=Arctan((t+(1/2))/(√3/2))/(√3/2)+C
というふうにやってはどうでしょう
続きはお願いします

Q東京芸術大学ってそんなに凄いんですか?

中学校の美術の教師が東京芸術大学芸術学部美術学科卒業でした。授業中「俺は東大よりも難しい大学を出てる」とよく自慢していました。中学生の時はその意味が分かりませんでしたが、大学受験の時、その意味は分かりました。ただその先生のことは本当に嫌いでした。そんな凄い大学出てても所詮は中学校教師。何が凄いのか分かりません。東京芸術大学でた人はどんなところで働くんでしょう?官僚になるわけでもなく、大手企業に行くわけでもなく・・・。いったい何をしてるんでしょうか?

Aベストアンサー

あてにならないウィキペディア情報ですが、出た人はだいたい以下のような仕事をしているようです。職業によっては、成功すれば、はぶりがよくなるでしょう。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E8%8A%B8%E8%A1%93%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E3%81%AE%E4%BA%BA%E7%89%A9%E4%B8%80%E8%A6%A7#.E4.B8.BB.E3.81.AA.E5.8D.92.E6.A5.AD.E7.94.9F

ただし、東京芸大の、それも大学院卒の俳優である伊勢谷友介さんがテレビでおっしゃっていたと記憶していますが、東京芸大は貧乏人を算出する大学だそうです。つまり、極めて優秀な芸術家を輩出する大学なわけですが、そもそも芸術家は芸術を生み出す人なわけで、お金を生み出す人ではないので、お金儲けにはつながらないのです。

「難しい大学を出る=安定した生活を送る」という理論に基づいて考えれば、芸大は「難しい大学」ということには確かにならないかもしれません。でも大学は本来、学問をするところです。そして東京芸大が、人の心や感覚をゆさぶるような優れた芸術を生み出すための優秀な教育を施してくれるのは事実です。東京大学法学部を出ても優秀な芸術家にはなれませんが、東京芸大を出れば優秀な芸術家になれる可能性が極めて高いのです。そして、あくまでも芸術家として優秀なだけであって、優秀な教師を育てる大学ではありませんので、中学教師として劣っていたとしても、まったく不思議ではありません。

ちなみに、私の中学時代の美術の先生は、当時、現役の東京芸大院生でしたが、実践的なことと芸術的なことの両方を楽しく学べる工夫をしてくださった、人としてもすばらしい愉快な先生で私は大好きでした。今は東京芸大以外の芸術系の大学などで教えながら、たまに展覧会を開いておられるようで、作風は変わりましたが、当時と同じジャンルの芸術を生み続けておられるようです。

あてにならないウィキペディア情報ですが、出た人はだいたい以下のような仕事をしているようです。職業によっては、成功すれば、はぶりがよくなるでしょう。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E8%8A%B8%E8%A1%93%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E3%81%AE%E4%BA%BA%E7%89%A9%E4%B8%80%E8%A6%A7#.E4.B8.BB.E3.81.AA.E5.8D.92.E6.A5.AD.E7.94.9F

ただし、東京芸大の、それも大学院卒の俳優である伊勢谷友介さんがテレビでおっしゃっていたと記憶していますが、東京芸大は貧乏人を算出する大学だそうです。つまり...続きを読む