No.4ベストアンサー
- 回答日時:
>2、3行目が分かりません
問題の積分は ∫[0→1]( x - 1 )/log(x) dx ですが、それと類似の積分
∫[0→1]( x^m - 1 )/log(x) dx
を、m の関数として
H(m) ≡∫[0→1]( x^m - 1 )/log(x) dx --- (1)
と定義します、というのが、知恵袋の回答2行目の意味です。したがって問題の積分は m = 1 のときの H(m) を求めればいいわけです。
H(m) は m の関数なので、これを m で微分すると、式(1)の右辺の定積分を m で微分したのに等しくなります。つまり
H '(m) = (∂/∂m)∫[0→1]( x^m - 1 )/log(x) dx
=∫[0→1]∂{ ( x^m - 1 )/log(x) }/∂m dx
となります。∂/∂m は m で微分するという意味です。ここで
∂(x^m)/∂m = (x^m)*log(x)
なので( a^x を x で微分したのと同じ形)
∂{ ( x^m - 1 )/log(x) }/∂m = (x^m)*log(x)/log(x) = x^m
つまり
H '(m) =∫[0→1]x^m dx = 1/(m+1)
したがって
H(m) = ∫ 1/(m+1) dm = log(m+1) + C(積分定数) --- (2)
となります(ここは知恵袋と違うのですが、たぶん省略したのでしょう)。
式(1)で、m = 0 のとき、被害積分関数は 0 なので、これを定積分すると 0 、つまり H(m) = 0 となります。したがって式(2)の C の値は 0 となります。結局
H(m) = log(m+1)
つまり、問題の定積分は
∫[0→1]( x - 1 )/log(x) dx = H(1) = log(2)
この回答へのお礼
お礼日時:2010/08/27 11:13
ありがとうございます。なんどもすみません。
H(m) は m の関数なので、これを m で微分すると、・・・で、x^m - 1 )/log(x)をmで微分するのと、∫[0→1]( x^m - 1 )/log(x) dxをmで微分するのは等しいのでしょうか。
No.5
- 回答日時:
>( x^m - 1 )/log(x)をmで微分するのと、∫[0→1]( x^m - 1 )/log(x) dxをmで微分するのは等しいのか
( x^m - 1 )/log(x) を m で微分したもの x^m は、考えている領域(0 < x < 1)で連続なので、ここ(http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/0 … )の最後のページの「定理 4.5.6 」によれば、等しいと思います。
No.2
- 回答日時:
分母の log x が厄介だから、y = log x で置換してみると、
∫[x=0…1]{ (x - 1)/log x }dx
= ∫[y=-∞…0]{ (e^y - 1)/y }e^y dy
= ∫[y=-∞…0]{ e^(2y)/y }dy - ∫[y=-∞…0]{ e^y/y }dy
= ∫[y=-∞…0]{ e^(2y)/(2y) }2dy - ∫[y=-∞…0]{ e^y/y }dy
= Ei(0) - Ei(0)
= 0
ただし、Ei は指数積分 Ei(x) = ∫[y=-∞…x]{ e^y/y }dy.
にならない?
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