共線条件について

共線条件について

@AP=k@ABとなる実数ｋがある。

教えてほしいところ
このベクトルが矢線ベクトルの場合は、平行移動という概念がないのでいいんですが、もしこのベクトルが位置ベクトルの場合、
平行移動可能です。
よって、@APと@ABを平行移動させます。そうしても、@AP=k@ABという条件を満たします。
よって、@AP=k@ABだからといって３点が一直線上にあるとは限らないのではと思ってしまいます。
矢線ベクトルの場合は平行移動という概念がないからいいんですが、
位置ベクトルを考えている場合、平行移動しちゃったらこの条件満たさないんじゃないかなあと思うことが度々あります。
誰か、この疑問に助言を下さい。

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2010/08/26 22:48

ベクトルは一般に始点、終点を指定しません。

大きさと方向を有し常に平行移動させて考えることができます。位置ベクトルは始点を原点に取ったものです。

@AP=k@ABという時は2つのベクトルの始点を同一点に取っているから点A,P,Bは一直線上に並びます。

@AP=k@BCのときは@AP、@BCが一点でも共有すれば結局、点A,P,B,Cが一直線上に並ぶことになります。

この回答への補足

＞ベクトルは一般に始点、終点を指定しません。
かなり曖昧な表現で、イメージが湧きません。指定しないとはどういうことですか？？？
具体例で説明していただけませんか？？

＞は2つのベクトルの始点を同一点に取っているから
始点は指定しないんですよね？？
たとえ同じ点Aとしても指定してません。（あなたの説明からすると）
じゃあ、指定しないんだから２つのベクトルの始点はどこでもいいはず。
よって、一直線上にならばないとなってしまいませんか？？

補足日時：2010/08/27 18:36

No.4 回答者： Kules 回答日時： 2010/08/27 21:10

再びKulesです。

何やらなかなか難しいことを考えてらっしゃるようで…
若干イメージ的な部分でとらえる必要があるのでなかなか理解しがたいですよね。

ということでもう少し書いてみます。

ベクトルとは本来は始点も終点も存在しません。矢線ベクトルにあるのは「大きさ」と「向き」だけです。
じゃあベクトルABって何なんだ、というと、
「向きはAからBに向かう向きで、大きさは線分ABの長さと等しいベクトル」です。
始点がAに「たまたま」あり、終点がBに「たまたま」あるだけのベクトルです。
つまり、A,Bと同じ位置関係にある点C,Dがあれば、始点をAからCに移せば終点はBからDに移動しますので、ベクトルAB=ベクトルCDが成り立つことになります。始点、終点は変わりましたし、名前も変わりましたが、同じベクトルであることに変わりありません。
では、位置ベクトルとは何かと言えば、「始点を原点に決めたベクトル」です。始点が原点に決まっていて、ベクトルは大きさと向きが決まっているので終点もただ１点に定まります。
つまり、位置ベクトルには平行移動という考え方すらできません。平行移動をするためには始点と終点を
同時に同じ方向に同じ距離だけ動かす必要がありますが、始点が原点から動いてしまえばそれは位置ベクトルとは呼べません。「原点とは違うある一点を始点とする、何らかの大きさと向きを持ったベクトル」です。

イメージの助けになればと思います。参考になれば幸いです。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/08/26 23:22

位置ベクトルを平行移動させたら、別の点になってしまいます。

したがって、平行移動した位置ベクトルについて成り立つ式は、
もとの点の性質を表していません。平行移動後の点の性質を表すのです。

No.1 回答者： Kules 回答日時： 2010/08/26 22:17

ええと…私も言葉の定義があいまいなのですが、

位置ベクトルって原点を始点に取った時のベクトルのことじゃありませんでしたっけ？
(こんな表現でいいのかな？)
ってことは原点は平行移動しないのでそもそもこの話が成り立たない気がするんですが…

参考になれば幸いです。