No.1ベストアンサー
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こんにちは。
数日前もお会いしましたか。
x=a にある電荷の名称をA、
x=-a にある電荷の名称をB
と置きます。
そして、
仮に置く電荷をZと名づけ、その座標を(x,y)、電荷の大きさをQとします。
AとZとの間に働く力Fa→の絶対値は、クーロンの法則により
|Fa→| = kqQ ÷ (AとZの距離)^2
ここでAの座標は(a,0)なので、三平方の定理により
(AとZの距離)^2 = (x-a)^2 + (y-0)^2
= (x-a)^2 + y^2
よって、
|Fa→| = kqQ/{(x-a)^2 + y^2}
しかし、これではFaの大きさはわかっても、方向がわかりません。
ですから、大きさが1のベクトル(単位ベクトル)をかけます。
とりあえず、Fa→ に平行なベクトルは、成分表示で
(x-a,y)
と表すことができます。
単位ベクトルにするには、それ自身の絶対値で割ればよいです。
Fa方向の単位ベクトル = (x-a,y)/√{(x-a)^2 + y^2)}
以上のことから
Fa→ = kqQ/{(x-a)^2 + y^2}・(x-a,y)/√{(x-a)^2 + y^2)}
= (x-a,y)・kqQ/{(x-a)^2 + y^2}^(3/2)
これのY成分は、
Fa→のY成分 = y・kqQ/{(x-a)^2 + y^2}^(3/2)
Bについても同様に、
Fb→のY成分 = y・kqQ/{(x+a)^2 + y^2}^(3/2)
F→のY成分の合計は、
F→のY成分 = Fa→のY成分 - Fb→のY成分
= y・kqQ/{(x-a)^2 + y^2}^(3/2) + y・kqQ/{(x+a)^2 + y^2}^(3/2)
電界はFをQで割ったものなので、
E→ = y・kq/{(x-a)^2 + y^2}^(3/2) + y・kq/{(x+a)^2 + y^2}^(3/2)
Y軸上なので、x=0
E→のY成分 = y・kq/{(0-a)^2 + y^2}^(3/2) + y・kq/{(ー+a)^2 + y^2}^(3/2)
= y・kq/{a^2 + y^2}^(3/2) + y・kq/{a^2 + y^2}^(3/2)
= 2kqy/{a^2 + y^2}^(3/2)
このままだと後が面倒なので、2乗します。
(E→のY成分)^2/(2kq)^2 = y^2/{a^2 + y^2}^3
これが極値であるには、これをyで微分したものがゼロ。
d/dy・{y^2・{a^2 + y^2}^(-3)}
= 2y・{a^2+y^2}^(-3) + y^2・2y・(-3)・(a^2+y^2)^(-4)
= [2y・(a^2+y^2) - 6y^3](a^2+y^2)^(-4)
= 2y[(a^2+y^2) - 3y^2](a^2+y^2)^(-4)
= 2y(a^2 - 2y^2)(a^2+y^2)^(-4)
= 2y(a^2 - 2y^2)/(a^2+y^2)^4
よって、E→のY成分が極値を取るとき
y=0 または、 a^2 - 2y^2 = 0
このうち、y=0 は、|E→|の大きさが0になる場所(極小)なので、NG。
残るのは、a^2 - 2y^2 = 0 です。
y^2 = a^2/2
y = ±a/√2
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