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二次関数の最大と最小

二次関数y=4x^2-2kx+3k-1の最小値をmとするとき、次の問いに答えよ

1)mをkの式で表せ

2)mをkの二次関数とみたとき、mの最大値を求めよ

二次関数y=x^2-2x+k(-1≦x≦2)の最大値が7であるとき、定数kの値を求めよ

詳しく説明お願いします!

A 回答 (2件)

2次関数に、しかも高校1年レベルの問題に、微分を持ち出すなんてどうかしてる。




どっちの問題も、平方完成して頂点の座標を求める。
最初の問題は、xの範囲(条件)がないから、x=k/4のときに最小となる。mはkの二次関数、しかも上に凸でkの条件がないから、その頂点で最大になる。

次の問題も平方完成して、そのグラフを書いてみる。但し、今度は -1≦x≦2 という条件がついている。
軸:x=1から x=-1 の時に最大になる事くらいはわかるだろう。
最小値は、x=1 の時。
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考え方を書いておきます。

最大最小の求め方は色々あると思いますが、微分を使った極値の求め方で説明します。

1)
x2の定数が正なので、この二次関数の極値が最小値(極少値)となる。
yを一次微分し、y’=0となるxを求めて、これを代入し、
mをkのみで表す。(kの二次式になるはずです)

2)
1)で求めたkの二次式は、kの定数が負になる(はず)なので、1)と同様に一次微分し、極大値を取るkを求め、そこからmを計算する。

3)この二次関数はx2の定数が正なので、極少値を取るxの値を求める。
xの値と、条件の範囲から最大となる点を求める。即ち、範囲内の中点が極少値より小さければ、範囲の最小(即ちx=-1)で最大となるので、これを代入しyをkだけの式で表す。
最後に、y=7と置いて、kを計算する。

ご参考に。
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