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ある化学物質の量x(t)は次の方程式に従って変化する。ただし、x(0)=1である。
dx(T)/dt=-3x(t)+24{x(t)-5/2}^2…(1)

微分方程式(1)を解いたのが1/{(8X-25)(X-2)}dx=3dt
部分分数分解して
1/9{8/(8X-25)-1/(X-2)}dx=3dt
両辺積分して
In|(8X-25)/(X-2)|=27t+C
(8X-25)/(X-2)=De^27t
(ただしC,Dは積分定数)
初期条件t=0のときX=1よりD=17を用いて整理して
x={34e^(27t)-25}/{17e^(27t)-8}

だと思うのですが積分してどうやったらIn|(8X-25)/(X-2)|=27t+Cって求められるのですか?

教えてください

回答よろしくお願いします

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A 回答 (3件)

dx/dt=-3x+24{x-5/2}^2=3(8x^2-41x+50)=3(8x-25)(x-2)


x=2又はx=25/8を仮定すると
(8x-25)(x-2)=0 x=C,x(0)=1だから x=1≠2,1≠25/8で矛盾だから
(8x-25)(x-2)≠0 となるから
(dx/dt)/{(8x-25)(x-2)}=3
(dx/dt)[{8/(8x-25)}-{1/(x-2)}]=27
∫{8/(8x-25)}dx-∫{1/(x-2)}dx=27∫dt
y=|8x-25|とする
8x-25>0のときy=8x-25,dy=8dx,∫{8/(8x-25)}dx=∫(1/y)dy
8x-25<0のときy=25-8x,dy=-8dx,∫{8/(8x-25)}dx=∫(1/y)dy
∫{8/(8x-25)}dx=∫(1/y)dy=logy+C1=log|8x-25|+C1
y=|x-2|とする
x-2>0のときy=x-2,dy=dx,∫{1/(x-2)}dx=∫(1/y)dy
x-2<0のときy=2-x,dy=-dx,∫{1/(x-2)}dx=∫(1/y)dy
∫{1/(x-2)}dx=∫(1/y)dy=logy+C2=log|x-2|+C2
27∫dt=27t+C3
C=C3-C1+C2とすると
log|8x-25|-log|x-2|=27t+C
log|8x-25|-log|x-2|=log|(8x-25)/(x-2)| だから
log|(8x-25)/(x-2)|=27t+C
(8x-25)/(x-2)=±(e^C)e^{27t}
D=±e^C とすると
(8x-25)/(x-2)=De^{27t}
初期条件t=0のときx=1よりD=17を用いて整理して
x={34e^(27t)-25}/{17e^(27t)-8}
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>> 1/9{8/(8X-25)-1/(X-2)}dx=3dt



の不定積分は,積分定数を C として,

∫[(1/9){8/(8X-25)-1/(X-2)}]dx=∫3dt+C

になります.これを計算すると

(8/9)∫{1/(8X-25)}dx-(1/9)∫{1/(X-2)}dx=∫3dt+C

となり,積分 ∫{1/(8X-25)}dx と ∫{1/(X-2)}dx と ∫3dt は,それぞれ

∫{1/(8X-25)}dx=(1/8)ln(8X-25)
∫{1/(X-2)}dx=ln(X-2)
∫3dt=3t

となります.ln は自然対数です.したがって,

(8/9)∫{1/(8X-25)}dx-(1/9)∫{1/(X-2)}dx=∫3dt+C
(8/9)(1/8)ln(8X-25)-(1/9)ln(X-2)=3t+C
(1/9)ln(8X-25)-(1/9)ln(X-2)=3t+C
ln(8X-25)-ln(X-2)=3・9t+9C

対数の法則により,ln(8X-25)-ln(X-2)=ln{(8X-25)/(X-2)} なので,

ln{(8X-25)/(X-2)}=27t+9C

になります.(9C は,C と書いても同じ,以下の計算で分かります).
初期条件 t=0 のとき X=1 なので,

ln{(8-25)/(1-2)}=9C
ln{(-17)/(-1)}=9C
ln{17}=9C

したがって,

ln{(8X-25)/(X-2)}=27t+ln{17} これを変形すると

(8X-25)/(X-2)=e^[27t+ln{17}]
(8X-25)/(X-2)=e^(27t)・e^[ln{17}]
(8X-25)/(X-2)=e^(27t)・17
(8X-25)/(X-2)=17e^(27t)

となります.これを X について解けば,

X={34e^(27t)-25}/{17e^(27t)-8}

が得られることになります.
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いきなりそこにいかず, 途中に 1段階はさんでください.

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