実数tが変化するとき、
直線y=2tx-(t+1)^2 
が通りうる点(a,b)の存在範囲を求めよ。


☆ f(x,y,t)=0のtが実数である点(x,y)の集合
    ・・・とありましたが、どうするのかわかりません。
    解法を教えてください!

A 回答 (2件)

算数なんて久しぶりなので、自信が無いけど。



f(x,y,t) = 0 の t が実数である点の集合ということであれば、

f(x,y,t) = y - 2xt + (t + 1)^2 = 0

とおいて、t について整理すると、

t^2 - 2(x - 1)t + y + 1 = 0

で、t が実数である範囲というのは、解の公式の √ の
中が正であるということだから

(x - 1)^2 - (y + 1) ≧ 0

これを整理して

y ≦ (x - 1)^2 - 1

ということ。

# あってるかな?
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この回答へのお礼

じゃあ、答えとしては、最終的に出た y=(x-1)^2-1 のx、yをa、bにすればいいんですよね、多分。

よくわかりました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/04/09 18:09

> ☆ f(x,y,t)=0のtが実数である点(x,y)の集合


 解法はこのままだと思いますが,もう少し詳しく書いてみます。

1)上の直線の式をtに関する2次方程式と見立てます。yやxは定数と考えます。

2)tに関する2次方程式に対して,解が実数になる範囲を判別式を用いて求めます。

3)yとxに関する不等式が得られるはずです。この不等式を満たす点(a,b)が求める点の集合(つまり存在範囲)を表します。

二十数年前の事を思い出しながら書いてますので,間違っていたら笑って許して下さい。
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この回答へのお礼

なるほど。
とりあえず、この通り解いてみます。
ありがとうございました! 

お礼日時:2001/04/09 18:03

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[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)

問題1
直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)のグラフを書き、その交点を求めよ。

問題2
直線(1)、(2)のなす角をΘ(0°≦Θ≦90°)とするとき、CosΘを求めよ。

問題3
直線(1)と(2)について、それぞれの方向余弦のうち、xの値が正であるものを求めよ。

⇔問題1はとけましたけど、問題2と3がわかりませんでした。

まず問題1は、x=-3-2t=-3+3s y=4+t=-7+4sとしました。sと置き換えたのは=とした時にtの値が同じとは限らないので、
結果
2t+3s=0 t-4s=-11となり、
t=-3、s=2となりました。
交点は(x、y)=(3.1)となりました(答)

問題2は
(1)の方向ベクトルと(2)の方向ベクトルがどのようにしたら求めてよいのか解らないのでとけませんでした。 いままで学んだ内容だと、二点P1(-1,3),P2(2,-1)をとおる媒介変数tを表せという問題をといてきて、
単純にp1p2=(x-x1,y-y1) をやって方向ベクトルをもとめ、x=x1+tl,y=y1+tmの公式にしたがってx=-1+3t,y=3-4tと方向ベクトルを求めていたのですけど、
今回はx-x1にあたる部分が題意を読んで何処なのかわかりませんでした。

題意のx=-3-2t、y=4+t (1)と(2)の式からx1の部分をー3、y1の部分を4とみるのでしょうか?
そうすると、x-x1、y-y1のx1とy1の部分はわかるのですけど、xとyが解らないので、引き算ができず、方向ベクトルが求まりませんでした。

答えをみるとl→=(-2,1)(1) m→=(-3、-4)(2)となってました。どうやったらこのように求まるのでしょうか?

問題3は手が付けられませんでした>_<

だれかこの問題詳しく教えてください、宜しくおねがいします!!>_<

問題1
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直線(1)と(2)について、それぞれの方向余弦のうち、xの値が正であるものを求めよ。

⇔問題1はとけましたけど、問題2と3がわかりませんでした。

まず問題1は、x=-3-2t=-3+3s y=4+t=-7+4sとしました。sと置き換えたのは=とした時にtの値が同じとは限...続きを読む

Aベストアンサー

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=(-2*3+1*4)/√(4+1)・√(9+16)
=(-2)/(5√5)
=(-2√5)/25

となります。cosがマイナスなので、θは90°よりも大きいことが判ります。今、0≦θ≦90°なので、求めたい値は、

cos(180°-θ)
=-cosθ
=2√5/25

となります。

答の中で、(2)の方向ベクトルを(-3,-4)としているのは、最初から0≦θ≦90°を考慮しているためです。

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

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Q≪問題≫実数x,y,zは関係式,x+y=2…(1),x^3+y^3+z^3

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x^2+y^2+z^2をzで表すのだからx^2+y^2の部分が問題です。
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No.2です。

>いやk=1
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それはそうなりますよ。k=1のときには。

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