非負整数a,b,c,x,yで、ax+byとcが互いに素でなくなるのは?
a,b,cは互いに素でa^2+b^2=c^2、またx,y,cも互いに素であるとします。
例えば、(a,b,c)=(3,4,5)、(x,y)=(-1,7)ならば、
ax+by=25となって、cと素でなくなりますが、
どういった条件が成り立てば良いのでしょうか?
任意の整数の組(x,y)が与えられた時に、
(ax+by)/c≠0が約分できるような(a,b,c)の組を知りたいのです。
よろしくお願いします。
ちなみに以前の質問↓の続きです。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6158436.html
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
仮定よりa,b,cは互いに素ですから、gcd(a,b)=1で
aX + bY = 1
を満たす整数X,Yが存在しますね。
いまcのある約数をdとして両辺にdを掛けると
d*(aX + bY) = d
a(dX) + b(dY) = d
となります。
x = dX
y = dY
と置き換えると、不定方程式
ax + by = d
の解の一つが
x = dX
y = dY
であるということになります。
しかし、現段階では解(x,y)はどちらもcと共通な約数dを持ちますから、(x,y)は我々の求めている解ではありません。
さて、上の不定方程式の性質として、既知の解(x,y)と任意の整数nを用いて
x' = x +nb
y' = y -na
とすると、(x',y')もまた不定方程式の解になります。
このとき整数nをうまく取ることで、x',y',cを互いに素にできます。
x' = x +nb = dX +nb
y' = y -na = dY -na
より(dX+nb),(dY-na),cが互いに素であれば良いのですが、いまdがcの約数であることより、nb,na,cが互いに素でない場合、(dX+nb),(dY-na),cも互いに素でないとわかります。
逆にnb,na,cが互いに素であれば、(dX+nb),(dY-na),cも互いに素になります。
また仮定よりa,b,cが互いに素より、nとcが互いに素であればnb,na,cは互いに素になります。
以上より、
aX + bY = 1
となる(X,Y)を求め、cの約数dと、cと互いに素な任意の整数nを用いて、
x = dX +nb
y = dY -na
とすれば、x,y,cは互いに素で、しかも
ax + by = d
とるような整数(x,y)が構成出来ます。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
「a,b,cが互いに素」は
「a,bが互いに素、かつb,cが互いに素、かつc,aが互いに素」
のつもりだったのですが書き方がまずかったでしょうか?
>nとcが互いに素であればnb,na,cは互いに素になります。
とありますが、nbとnaは互いに素になるのですか?
x,yが決まっていて、a,b,cを選ぶような状況を考えているのですが
x,yとa,bを読み替えれば良いのでしょうか?
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