x^n-1の因数分解

x^n-1の因数分解
行列の高次計算でx^n-1が因数分解されていたのですが、どういうふうに行ったのかがよくわからないので教えてください。

x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+・・・+x^2+x^1+1)=0

No.3 ベストアンサー 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/09/25 03:52

P(n)=[x^n-1=(x-1)Σ_{i=1～n}x^{n-i}]とする

P(1)=[x^1-1=(x-1)x^{1-1}]は成り立つ
ある自然数kに対して　P(k)が成り立つと仮定すると
x^k-1=(x-1)Σ_{i=1～k}x^{k-i}
x^{k+1}-1=(x^k-1)x+x-1
=x(x-1)Σ_{i=1～k}x^{k-i}+x-1
=(x-1)Σ_{i=1～k+1}x^{k+1-i}
P(k+1)が成り立つから
全ての自然数nに対して
x^n-1=(x-1)Σ_{i=1～n}x^{n-i}

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
いろんな証明ができるんですね。

お礼日時：2010/09/29 23:48

No.2 回答者： girlkeeper 回答日時： 2010/09/24 06:19

右辺を展開すれば左辺になることはお分かりでしょう。

（もし分からなければ、仮にｎ＝３とかｎ＝５を代入して確認してください）

また、左辺でｘ＝１を代入すると０になることから、因数としてｘ－１を持つことが分かります（因数定理）。
そこで左辺を（ちょっとやりにくいですが）筆算風にｘ－１で割ると右辺が出てきます（ｘ－１は因数なので、最後の余りがゼロになることに注意）

これは基本的な因数分解の式なので、覚えておくことをお勧めします。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
しっかり覚えておきます!

お礼日時：2010/09/29 23:49

No.1 回答者： sak_sak 回答日時： 2010/09/24 03:47

等比数列の和の公式です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
なんか・・・聞くまでもないようなことでしたね・・・。

お礼日時：2010/09/29 23:39