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x^n-1の因数分解
行列の高次計算でx^n-1が因数分解されていたのですが、どういうふうに行ったのかがよくわからないので教えてください。

x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+・・・+x^2+x^1+1)=0

A 回答 (3件)

P(n)=[x^n-1=(x-1)Σ_{i=1~n}x^{n-i}]とする


P(1)=[x^1-1=(x-1)x^{1-1}]は成り立つ
ある自然数kに対して P(k)が成り立つと仮定すると
x^k-1=(x-1)Σ_{i=1~k}x^{k-i}
x^{k+1}-1=(x^k-1)x+x-1
=x(x-1)Σ_{i=1~k}x^{k-i}+x-1
=(x-1)Σ_{i=1~k+1}x^{k+1-i}
P(k+1)が成り立つから
全ての自然数nに対して
x^n-1=(x-1)Σ_{i=1~n}x^{n-i}
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
いろんな証明ができるんですね。

お礼日時:2010/09/29 23:48

右辺を展開すれば左辺になることはお分かりでしょう。


(もし分からなければ、仮にn=3とかn=5を代入して確認してください)

また、左辺でx=1を代入すると0になることから、因数としてx-1を持つことが分かります(因数定理)。
そこで左辺を(ちょっとやりにくいですが)筆算風にx-1で割ると右辺が出てきます(x-1は因数なので、最後の余りがゼロになることに注意)

これは基本的な因数分解の式なので、覚えておくことをお勧めします。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
しっかり覚えておきます!

お礼日時:2010/09/29 23:49

等比数列の和の公式です。

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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
なんか・・・聞くまでもないようなことでしたね・・・。

お礼日時:2010/09/29 23:39

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