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『1次式fn(x)(n=1,2,3・・・・)が
f1(x)=x+1
x^2f(n+1)(x)=x^3-x^2+∫(0→x)tfn(t)dt(n=1,2,3・・・・)
を満たすとき、fn(x)を求めよ。』

という問題が分かりません。
とりあえず定積分のとこは積分したらxの関数になるってことと、f(n+1)とfnから漸化式かなぁてことくらいしか分かりませんでした。

※f(n+1)は問題ではfn+1って書かれてます。わかりやすくするためにこう書きました。よく数列で出てくるfのn+1番目って奴です。

どうかよろしくお願いします!

教えて!goo グレード

A 回答 (4件)

#3です。



b[n]を間違えてました。

b[n]+2={b[1]+2}×(1/2)^(n-1)
よって、
b[n]=3×(1/2)^(n-1)-2

以上より、
fn(x)={(3/2)-(1/2)(1/3)^(n-1)}x + 3×(1/2)^(n-1)-2

※:答と違うようですが...。
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この回答へのお礼

回答していただき有難うございます。

恥ずかしい話ですが、問題間違えてました(苦笑
『x^3-x^2』というところが『x^3+x^2』でした。ホントにすみません。

ですがspringsideさんのやり方で解いたら答えと一致しました。ありがとうございます。

お礼日時:2003/08/07 15:35

こんな感じですかね。


fn(x)=(a[n])x+(b[n])と置く。(a[n]とb[n]は数列です。)
すると、a[1]=1,b[1]=1である。

与式より、
x^2{(a[n+1])x+(b[n+1])}=x^3-x^2+∫(0→x)t{(a[n])t+(b[n])}dtである。
右辺の積分を計算すると、
右辺={(1/3)a[n]+1}x^3+{(1/2)b[n]-1}x^2
となるから、両辺のx^3、x^2の係数を比較して、
a[n+1]=(1/3)a[n]+1 …(1)
b[n+1]=(1/2)b[n]-1 …(2)

(1)より、
a[n+1]-(3/2)=(1/3){a[n]-(3/2)}
これは、数列a[n]-(3/2)が、公比1/3の等比数列であることを意味しているから、
a[n]-(3/2)={a[1]-(3/2)}×(1/3)^(n-1)
よって、
a[n]=(3/2)-(1/2)(1/3)^(n-1)

(2)より、
b[n+1]+2=(1/2){b[n]+2}
これは、数列b[n]+2が、公比1/2の等比数列であることを意味しているから、
b[n]+2={b[1]+2}×(1/2)^(n-1)
よって、
b[n]=(3/2)-(1/2)(1/3)^(n-1)

以上より、
fn(x)={(3/2)-(1/2)(1/3)^(n-1)}x + (3/2)-(1/2)(1/3)^(n-1)

注:(1)、(2)からa[n]、b[n]を求めるところで、3/2とか2の発見の仕方は参考書等を読んでください。
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答えの式をax+bとすると a=3^n-1/2・3^(n-1)b=3-2^n/2^(n-1) かな~? 



あってるかどうか知んないよ!

もしあってたら、やり方教えてあげます。

受験勉強から離れて4ヶ月もたつもんでね・・・。

これでも一生懸命考えました(笑

この回答への補足

ちなみに答えは
3/2{1-(1/3)^n}x+2{1-(1/2)^n}
です。

補足日時:2003/08/06 00:16
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順番にやってみたらどうですか。



(1+1/3+1/3^2+・・・+1/3^(n-1))x+(1+1/(-2)+・・・+1/(-2)^(n-1))
になりそうな
厳密には数学的帰納法
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