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nが整数のとき, 2n^3+3n^2+n は6の倍数であることを証明せよ。

上の解き方は,n(n+1)(2n+1)に因数分解し,
2の倍数かつ3の倍数であることを証明すればよいと思うのですが,

教科書には,
2の倍数であるというのは,n(n+1)が連続する2つの整数の積だから証明でき,
3の倍数であるというのは, kを整数として
 n=3kのとき,n=3k+1のとき,n=3k+2のときに3×○の形にすれば証明できるとありました。

ここで質問なのですが,
なぜ,n=3k n=3k+1 n=3k+2 にするのでしょうか?
n=k n=k+1 n=k+2 ではなぜ駄目なのか教えていただけませんか?
 

教えて!goo グレード

A 回答 (4件)

こんばんわ。



>n=k n=k+1 n=k+2 ではなぜ駄目なのか教えていただけませんか?
「なぜ」の前に、具体的に代入してみましたか?
n= kだと、nが kに置き換わるだけで 3の倍数かどうかは示すことができませんよね。

>なぜ,n=3k n=3k+1 n=3k+2 にするのでしょうか?
自然数を 3で割ったあまりは 0 or 1 or 2のいずれかですから、
n= 3k, 3k+1, 3k+2と書けばすべての自然数を網羅することができますね。

もしこれが「5の倍数」であれば、
n= 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4という場合分けを考えることになります。


「あまり」に対する場合分けをすることで考えやすくなるという、比較的よく使われる手法ですね。
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n=k, k+1, k+2 だと何も示せないと思う.



余談ですが, 他にもいろいろな示し方がありますね. 例えば
1. 2n^3+3n^2+n = 6Σ(k=1~n)k^2.
2. n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(n+2) + n(n+1)(n-1).
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n=3k、3k+1、3k+2という場合分けをすることによりn(n+1)(2n+1)に代入して展開したときの定数項以外はすべて3の倍数になり、定数項だけ見れば判断できるためです。

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#1です。



少し補足しておきます。
もう 1つ別の場合分けの方法があります。

それは、いきなり 6で割ったあまりで場合分けする方法です。
場合分けの分け方だけでも、一度考えてみてください。^^
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