上界と下界、上限と下限

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上界と下界、上限と下限

数列の定義（解析演習 by 杉浦光夫さん)のpage4に上界と下界、上限と下限の説明があります。

[実数Rの部分集合Aにおいて、実数xですべてのAの元aに対してa<=xとなるものを上界]という説明は納得できました。

一方で上限の説明で
[Aの上界に最小元が存在するときこれを上限という]という説明がよく理解できません。

Aの上界という部分では集合Aのうちの最大の値を持つ元がでてくると思うのですが、「最小元」を持ち出して「上限」と言っているのがよくわかりませんでした。

上限の具体的な例など教えていただけますでしょうか？

また、Aの上界に最小元が存在しないとき、の例というのはどういうものでしょうか。

funoe · Accepted Answer

例えば集合Ａ＝（３,π]　←半開区間３～π　
なる実数の集合としましょう。

例えばπはＡの上界ですが、４や５や√３０や１億だってＡの上界です。
ある数αがＡの上界ならαより大きい数もＡの上界です。
上界は沢山あります。

さて、そのような「上界となっている数の最小値」＝上限を考えましょう。
上界と違い、上限は「ひとつしかありません」

Ａに最大値αがあるなら、それは上限になります。
まず、αは上界の条件を満たすので「上限の候補」になって、
αより小さい数βは、Ａの上界ではない(Ａの元αより小さい)からです。

別の集合Ｂ＝(-∞、２）のように、最大値をもたない集合でも、上界や上限は
考えることができます。
たとえば、２や３やπや１０は、集合Ｂの上界です。
集合Ｂの中の最小値（この場合、２）が上限（上界の中で一番小さいヤツ）になります。

一般の集合(大小関係が定義されているので順序集合ですけど)では、
上界があっても上限がないケースがあります。
典型的な例が＃３さんご指摘のような有理数ＱでのＡ＝｛a∈Ｑ｜a^2＜2｝です。

有理数の世界で考えているので√２(←こんな数はＱにない！)という表現を避けていますが、
ぶっちゃけＡ＝（-√２、√２）∩Ｑ　です。
√２より大きい有理数(有理数の世界で考えているので・・)は、なんでもＡの上界ですが、
その上界の中の最小値（√２が候補なんですが）が、Ｑの中にないんです。
上界があっても上限がない典型的な例です。

特に実数の集合の場合、上に有界な部分集合には、
上界ももちろんありますし、上限も存在しちゃいます。
この特質を俗に「実数の連続性」といいます。
（実数の完備性と表現するほうが正確なんでしょうけどね）

実数の定義上、公理として採用することもあるくらい重要な性質です。

つまり、実数の部分集合で考えている限り、
「上界があるけど上界の最小限＝上限」がないケースを考えることはできません。

hugen · Answer

上限＝最小な上界　だから、上限は上界です。

noname#118938 · Answer

任意のa(Aの元)に対して
　　　a≦xとなる　xの"最小値"が上限。

nag0720 · Answer

上界とか上限は、もともと順序集合上で定義されたものです。

実数体Ｒ上では、上界の集合には必ず最小元が存在しますが、
有理数体Ｑで考えれば、上界の集合に最小元が存在しないこともあります。
例えば、
Ａ＝｛a∈Ｑ｜a^2＜2｝

Tacosan · Answer

そもそも上界が存在しなければ上限も存在しないんですが, そうでない (つまり上に有界な) 集合では必ず上限を持つような気がする....

orcus0930 · Answer

下限の場合について考えると，
y＝1/x (x>0)

の下界は y<=0 で下限は０ (ちゃんとした集合の表記はしていないので，あしからず)

でも，1/xの最小値はない．

上界の最小値が存在しない場合は，すぐには思いつけないなぁ

上界と下界、上限と下限

例えば集合Ａ＝（３,π] ←半開区間３～π

上限＝最小な上界 だから、上限は上界です。

任意のa(Aの元)に対して

上界とか上限は、もともと順序集合上で定義されたものです。

そもそも上界が存在しなければ上限も存在しないんですが, そうでない (つまり上に有界な) 集合では必ず上限を持つような気がする..

下限の場合について考えると，

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上限＝最小な上界　だから、上限は上界です。