上界と下界、上限と下限
数列の定義(解析演習 by 杉浦光夫さん)のpage4に上界と下界、上限と下限の説明があります。
[実数Rの部分集合Aにおいて、実数xですべてのAの元aに対してa<=xとなるものを上界]という説明は納得できました。
一方で上限の説明で
[Aの上界に最小元が存在するときこれを上限という]という説明がよく理解できません。
Aの上界という部分では集合Aのうちの最大の値を持つ元がでてくると思うのですが、「最小元」を持ち出して「上限」と言っているのがよくわかりませんでした。
上限の具体的な例など教えていただけますでしょうか?
また、Aの上界に最小元が存在しないとき、の例というのはどういうものでしょうか。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
例えば集合A=(3,π] ←半開区間3~π
なる実数の集合としましょう。
例えばπはAの上界ですが、4や5や√30や1億だってAの上界です。
ある数αがAの上界ならαより大きい数もAの上界です。
上界は沢山あります。
さて、そのような「上界となっている数の最小値」=上限を考えましょう。
上界と違い、上限は「ひとつしかありません」
Aに最大値αがあるなら、それは上限になります。
まず、αは上界の条件を満たすので「上限の候補」になって、
αより小さい数βは、Aの上界ではない(Aの元αより小さい)からです。
別の集合B=(-∞、2)のように、最大値をもたない集合でも、上界や上限は
考えることができます。
たとえば、2や3やπや10は、集合Bの上界です。
集合Bの中の最小値(この場合、2)が上限(上界の中で一番小さいヤツ)になります。
一般の集合(大小関係が定義されているので順序集合ですけど)では、
上界があっても上限がないケースがあります。
典型的な例が#3さんご指摘のような有理数QでのA={a∈Q|a^2<2}です。
有理数の世界で考えているので√2(←こんな数はQにない!)という表現を避けていますが、
ぶっちゃけA=(-√2、√2)∩Q です。
√2より大きい有理数(有理数の世界で考えているので・・)は、なんでもAの上界ですが、
その上界の中の最小値(√2が候補なんですが)が、Qの中にないんです。
上界があっても上限がない典型的な例です。
特に実数の集合の場合、上に有界な部分集合には、
上界ももちろんありますし、上限も存在しちゃいます。
この特質を俗に「実数の連続性」といいます。
(実数の完備性と表現するほうが正確なんでしょうけどね)
実数の定義上、公理として採用することもあるくらい重要な性質です。
つまり、実数の部分集合で考えている限り、
「上界があるけど上界の最小限=上限」がないケースを考えることはできません。
No.4
- 回答日時:
任意のa(Aの元)に対して
a≦xとなる xの"最小値"が上限。
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