4m+3n=24k+2 （m、nは自然数）

4m+3n=24k+2　（m、nは自然数）
この式をみたす自然数ｋが存在するとき、m+nが最小となる組（ｍ、n）を求めよ。

という問題で、解答が
ｋ≧2のとき、与式を満たす（ｍ，ｎ）について
4（ｍ+ｎ）＞4ｍ+3ｎ≧24*2+2　から　ｍ+ｎ＞7

とあるのですが、なぜこういえるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/10/01 01:27

こんばんわ。

この解答ですが、「伏線」がありますよね？
その「伏線」というのは、最小値は k＝ 1のときに m+ n＝ 7（m＝ 5, n＝ 2）となるという内容です。

4(m+ n)＞ 4m+ 3n≧ 50からは、m+ n＞ 50/4＝ 12.5ということしか言えません。
つまり、
「k≧ 2のときには、どうやっても m+ nが 7より小さくなることはない。
だから、m+ nが最小となるのは k＝ 1のときである。」
ということを示すものとして、解答のような表現がされているだけだと思います。

そもそも何を示そうとしているのか（全体の流れ）を把握していないといけません。
解説などがあれば、まずはそこからどういう流れを作ろうとしているのかをしっかり読むようにしてください。
局所的に見てしまうと、いまのように、はまってしまいますよ。＾＾；

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2010/10/03 23:17

No.4 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2010/10/01 17:31

多分、m+n≧7またはm+n>6の間違いではないかと思いますが・・・・

とりあえず、真っ向から問題を解くと・・・・

4m+3n=24k+2
4m+(4-1)n=24k+2
4m+4n-n-24k=2
4m+4n-24k=2+n
4(m+n-6k)=2+n
「ここで、m,n,k全てが自然数なので、右辺は最低でも３以上、
左辺が正になるためには、m+n>6kが条件になるので、k=1としてもm+n≧7でなくてはなりません。」

ここで、左辺が４の倍数であるのはあきらかなので、右辺が最小の４である４になる
n=2を考えます。
すると、
4(m+2-6k)=4
m+2-6k=1
m+1=6k
k=1の場合に、m=5が成り立つので、
(m,n)=(5,2)
あとは、他のm+n=7の組合せ(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(6,1)では成立しないことを示せば回答終了です。

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/10/01 15:27

＞ｋ≧2のとき、与式を満たす（ｍ，ｎ）について　4（ｍ+ｎ）＞4ｍ+3ｎ≧24*2+2　から　ｍ+ｎ＞7

いかにも結果が分かってるという解だね。慣れてればいいが、一般的ではない。
下手でも良いから、正直にやってみよう。

x＝m＋nとすると、m＋3x＝24k＋2　だから　m＋3(x-8k)＝2　となる。←　この変形に気がつくかな？
x-8k＝yとすると、m＋3y＝2　‥‥(1)　だから　mとyの特別解を各々(α、β)とすると、α＋3β＝2　‥‥(2)
(1)-(2)から、(m-α)＝3(β-y)　だから、pを整数として、m-α＝3p、β-y＝pとなる。
ここで、特別解の1例を求めると(α、β)＝(2、0)
よって、m＝3p＋2、y＝-p。
x＝8k-p、n＝8k-4p-2　から、m＋n＝8k-p　→　m＋n＋p＝8k≧8　でこの時、k＝1
k＝1の時、m＝3p＋2≧1、n＝6-4p≧1　から　0≦p≦1。
p＝0の時、m＋n＝8　から　(m、n)＝(2、6)。
p＝1の時、m＋n＝7　から　(m、n)＝(5、2)。

以上から、ｍ+ｎ≧7で　(m、n)＝(5、2)。

No.2 回答者： noname#118938 回答日時： 2010/10/01 07:06

n,m>0 , k≧2 ⇒　4(ｍ+ｎ)=(4ｍ+3ｎ)＋n＞4ｍ+3ｎ=24k＋2≧24*2+2>24*2=48

⇔　4(m＋n)>48

⇔　(m＋n)>7