プロが教えるわが家の防犯対策術!

オイラーの多面体定理を高校数学レベルで証明する事は出来ますか?
出来るならお願いします

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

おはようございます。


厳密とは言えないと思いますが、証明することは可能だと思います。
以下、ずらずらと書いてみます。^^;

オイラーの多面体定理自体は、小学校で習った「植木算」の拡張みたいなものです。
大学の数学では、グラフ理論と呼ばれますね。

まずは、証明の流れを書いておきます。
過去の質問(http://okwave.jp/qa/q5959824.html)の焼き直しですが。
----------------------------------------
【手順1】まずは平面上で定理を証明。
平面上において多角形を張り合わせた図でオイラーの定理を考えます。
このときは、V- E+ F= 1となります。
(頂点の数:V、辺の数:E、面の数:Fとして)

【手順2】そして、立体へもっていく。
1)の図を多面体の「展開図もどき」と見ることで、多面体に対するオイラーの定理を示します。
多面体からどこか 1面だけを切り抜いた図を考えると 1)の図と同等になり、
切り抜いた 1面を戻すことで V- E+ F= 2となります。

もう少し言い換えると、
1)の図をゴムのような膜に書いておいて、くるっと包むようにして最後の 1面を作り上げる。
逆に、風船に多面体を描いておいて、どこか 1面を切り抜いてから、ぎゅっと平面に押し広げた。
というイメージでもいいかと思います。


----------------------------------------
あとは、【手順1】が成り立つことを示します。(添付の図を参照)
ここで植木算が登場します。

・植木算(直線)では、V- E= 1となります。
・この両端をつなぎ合わせると、頂点が 1つ減って、面が 1つ増える(できる)ので、V- E+ F= 1のままとなります。
・当然、これは三角形でも言えます。
・1つの三角形に、さらにもう 1つ三角形をくっつけることを考えます。
すると、頂点は +1、辺は +2、面は +1となり、差し引き±0となります。
以下、同様に三角形をいくつくっつけても、V- E+ F= 1のままとなります。
・逆に、三角形をくっつけた形から辺を取り去っても辺 -1、面 -1となり、やはり差し引き±0となります。(この時点で多角形が出来上がり!)

多角形は必ずいくつかの三角形に分割できるので、平面上の任意の多角形において、V- E+ F= 1となることが示されます。

これで 1)を示すことができました。
「オイラーの多面体定理を高校数学レベルで証」の回答画像2
    • good
    • 1
この回答へのお礼

ありがとうございました
一応感覚的に理解する事が出来ました
これをベストアンサーにしたいと思います

お礼日時:2010/10/05 21:48

辺の数について、数学的帰納法。


漸化ステップでは、頂点の数が
増えるかどうか で場合分け。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

簡潔に説明してくださってありがとうございます

お礼日時:2010/10/05 21:49

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q1000本のワインがあって、1つは毒入りです。

1000本のワインがあって、1つは毒入りです。
1滴でも飲むと、10h~20hで死にます。
今から24h以内に、毒ワインを自分のドレイに飲ませることで、判別したい。
これには最低何人のドレイを要するか?




以下がこれに対する僕の回答です。




結論から言うと1000人必要です。


まず0時から検査を開始します。

24時までに終わらせなければなりません。




まず0時にx人がそれぞれで一本検査します。

死ぬのは10~20時ですね
二本目を検査するためには
10時より後に飲まなければなりません(理由はAに書きます)
しかし4時より後に飲んだ場合は24時より後に死ぬ可能性があるため、毒を見逃す可能性があります。

ゆえに10時より後には飲めません。


A、もし10時以内に飲んだ場合
死んだとしても最初に飲んだワインによるものなのか後に飲んだワインによるものかわからないからです。
一本目の死ぬ可能性のある時間帯は10~20時
二本目を例えば9時に飲んだとしたら死ぬ時間帯は19~29時になります。
つまり19~20時に死んだ場合、その死が一本目によるものなのか二本目によるものなのかわからないからです。


ゆえに1人1本しか検査できません。

従って1000本には1000人必要です。





こういう答えがでたんですが、答えは10人なんだそうです…

先生にだされた問題だとか。


どうして10本になるのでしょうか?


困ってます。

1000本のワインがあって、1つは毒入りです。
1滴でも飲むと、10h~20hで死にます。
今から24h以内に、毒ワインを自分のドレイに飲ませることで、判別したい。
これには最低何人のドレイを要するか?




以下がこれに対する僕の回答です。




結論から言うと1000人必要です。


まず0時から検査を開始します。

24時までに終わらせなければなりません。




まず0時にx人がそれぞれで一本検査します。

死ぬのは10~20時ですね
二本目を検査するためには
10時より後に飲まなければ...続きを読む

Aベストアンサー

ついでに書いておこうかな(^^)
2進数                 10進数
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1   1番目のワイン
 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0   2番目のワイン
 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1   3番目のワイン
 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0   4番目のワイン
 ・・・【中略】・・・
 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1  999番目のワイン
 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1,000番目のワイン
奴隷は上に1があればそれを飲む
 A B C D E F G H I J  10人

Q分子結晶と共有結合の結晶の違いは?

分子結晶と共有結合の結晶の違いはなんでしょうか?
参考書を見たところ、共有結合の結晶は原子で出来ている
と書いてあったのですが、二酸化ケイ素も共有結合の
結晶ではないのですか?

Aベストアンサー

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素SiO2の場合も
Si原子とO原子が共有結合し、この結合が立体的に繰り返されて
共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
tomasinoさんの言うとおり、二酸化ケイ素も共有結合の結晶の1つです。

下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドC
C原子の4個の価電子が次々に4個の他のC原子と共有結合して
正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛C
C原子の4個の価電子のうち3個が次々に他のC原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
黒鉛は電気伝導性があります。
(多分この2つは教科書にも載っているでしょう。)
●ケイ素Si
●炭化ケイ素SiC
●二酸化ケイ素SiO2

私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素Si...続きを読む

Q直線と平面との垂直について

直線Lが、平面Pとの交点をとおる直線と垂直であるとき直線L垂直平面P。   このとき最低いくつの直線と垂直だとL垂直Pになりますか?やっぱり2つでしょうか?やさしく説明ねがいます。 

Aベストアンサー

平面の「方向」は
異なる二つの直線(正確には平行ではない二つのベクトル)で決まります.
したがって,
ある平面上で,平行でない二つの直線に対して
垂直であれば,その平面とは垂直になります

Q三垂線の定理は高校数学?

タイトル通りなのですが、
三垂線の定理は現行の高校数学の範囲なのでしょうか?
いつぞやにビートたけしさんの深夜の番組で、
三垂線の定理を使う東大入試を問題として出していたのを見て、
「あら、三垂線の定理なんて今時使うのか」
と思いました。

ちょっとした疑問ですが、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

>#4(追加)

>数学の教師が強調していたのは正に先見の明と。

同意見です。良い先生ですね!

>受験答案では、○○の定理より、という書き方はしないのではないでしょうか。 

これは違うでしょう。そのように書くのは論述の基本です。
まあ、書かんでも、高校で使う定理は知れてるし、読んで分かるっちゃあ分かるんで、減点はされやんかも知れやんが・・。
しかし、今僕が三重弁(否定のやん)を使った最後の文のように(全然違うが)、分かりにくい答案になってしまいます。
高校生は、みんな「・・・の定理より」と書いていますし、そう指導します。言うまでもないことですが。

Q順列・組合わせの記号(P、Π、C、H)について

数学の教科書なんかで、
「順列・組合わせ」という章があり、
順列の計算には nPr のようにPが、
重複順列では nΠr のように、Π が、
組合わせでは nCr のようにCが、
重複組合わせでは nHr のようにHが、
それぞれ用いられます。

Pが permutation の頭文字、
Cが combination の頭文字、
というのは分かりました。
Π と、Hは、どこからくるのでしょうか。
どなたかご存知の方、教えてください。
(Π は、permutation の p をギリシャ文字にしただけなのかな?)

英語のスレッドでもよかったのですが、
当方、一応英語が専門のくせに、分からずにいるということで、
数学専門の方にお伺いしたく、
ここに質問させていただきました。

Aベストアンサー

英語にすれば、それぞれ homogeneous product、repeated permutation で、Hはその頭文字、Πはギリシャ文字でPに対応するものです。重複組み合わせは、同次多項式(x_1+…+x_r)^nの展開係数を計算するときに現れます。同次多項式(homogeneous polynomial)がおそらく由来です。またΠは通常は積の記号として用いますので、直感的にも分かりやすいものでしょう。

ですが、これらの記号は普通は海外では用いません。たとえば二項係数は多くの場合、( )の中に上下に数を二つ並べて書きますし、あるいは、順列は(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)のように表すことが多いです。また重複順列はあまり記号法を用いる合理性がない(簡単に指数表示できる)ので、使わない方が無難でしょう。TeXのコマンドにも左下付はないので、"{}_"のように書かないといけません。こういうところにも海外で使われないということが現れています。

Q数学の得意な人・数学の天才にお聞きしたい

私は数学が嫌いというかセンスがないのでどう比べてもわからないのでお聞きしたいのですが、数学オリンピックに出題される問題のレベルと、例えば東大・京大等の理系のトップ校で出題される数学の問題のレベルはどうなんでしょうか。
(1)大まかに言ってどちらが難しいか。
(2)前者で満点を取れる人が後者で満点が取れる確率とその逆の確率はどんな
   ものか。
(3)どっちでいい成績を残す方が将来的に数学者として伸びるか。
(4)それらに対するには数学の勉強方法はかなり異なるか。
「東大理3」とかいった本を読んでいると「数学すきでオリンピックでたけど、数学でメシを食っていくには受験数学とは違った才能がないと・・・」とかいった感想がたまに見られますが。 また、ピーター・フランケルとか秋山仁なんて人は、大学入試問題はどれでもサラサラとこけてしまうんでしょうか。数学オンチの好奇心です。

Aベストアンサー

東大入試の数学は普通の進学校の採用している程度の数学の教科書に従って勉強している人が対象なので、それらに従って十分理解を深めていれば問題なく合格点がとれます(満点を狙うとなるとちょっと違った次元になりそうですが)。京大は若干ひねった問題が出る確率が高いというイメージがありますがよく知りません。
一方で数学オリンピックの問題は数学の好きな人が、数学を目的に普段からの鍛練(?)をしていないとなかなか高得点にはいけそうにないと昔問題を見た時は思いました。
多分、東大理系の人に数学オリンピックの問題を解かせても多くの人はまともな点数にならないと思います。逆に数学オリンピックで高得点をとった人が普通に大学入試の勉強をして、東大入試の数学で合格点に及ばないと言う事はほとんどないと思います。そういった意味で数学オリンピックの方が難しいだろうと思います。

ちなみに私の知り合いで数学オリンピックの合宿にまでいったというなかなかに凄いやつがいましたが、大学に入ってからあんまし勉強してなかったので数学で結構ひどい成績をとってました。十分勉強してればやっぱり凄かったのかも知れませんが、もしかすると数学オリンピックでは若干求められている方向性が違うのかも知れません。

ピーターフランクルはちょっと分かりませんが、秋山仁は受験生向けの講座とかもよくTVなんかでやってますよね。大学入試の問題は結構パターン化されているので、そういう人は入試問題についてはほとんどの問題をスラスラと解くと思います。

一方、数学オリンピックが初めて話題になったころ、東大だか京大だかの数学科の教授達がインタビューを受けていましたが、「あの問題解けますか?」の問いに「まず解くことはできる。ただ、制限時間をつけられると間に合うかは分からない。」といった感じの答えで笑ってました。

ちょっと漠然とした回答になってしまいましたが、御参考までに。

東大入試の数学は普通の進学校の採用している程度の数学の教科書に従って勉強している人が対象なので、それらに従って十分理解を深めていれば問題なく合格点がとれます(満点を狙うとなるとちょっと違った次元になりそうですが)。京大は若干ひねった問題が出る確率が高いというイメージがありますがよく知りません。
一方で数学オリンピックの問題は数学の好きな人が、数学を目的に普段からの鍛練(?)をしていないとなかなか高得点にはいけそうにないと昔問題を見た時は思いました。
多分、東大理系の人に数...続きを読む

Qなぜ正五面体はないの?

今までいろいろ調べてきましたが、これだけが分かりませんでした。正四面体、六面体、八面体、十二面体、二十面体の五種類しか正多面体はないのは分かっています。では、なぜ正五、九、十、十一、十三~十九面体はないのですか。わかる方、どうか教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

お答え致します。

まず基礎的なこととして、正多面体の条件としては、

・使われている多角形が同じ。
・一つの頂点に集まる多角形の数が同じ。

という条件を満たさなければいけません。

たとえば、「上と下が正三角形、側面が正方形の三角柱」
は正多角形だけで構成されていますが、
2種類の多角形が混じるので正多面体にはなりません。
(これらには、「半正多面体(準正多面体)」という言い方があります)

また、「正二十面体の中間を抜かした十面体」
は、一つの多角形だけで作られていますが、
一つの頂点に集まる数が違うので正多面体にはなりません。

さて、正多面体を作る多角形は、
3角形・4角形・5角形に限られます。
6角形より角が大きいと、内角が120°以上になります。
一つの頂点に集まる多角形は、最低3個以上でなければ立体になりませんが、
6角形が3個集まると、360°を超えてしまいます。

つまり条件として、一つの頂点に集まる図形の内角の和が360°未満でなければいけません。

そうすると、

正3角形の場合:
頂点に集まる個数が
3個(計180°・正四面体)
4個(計240°・正八面体)
5個(計300°・正二十面体)

正4角形の場合:
頂点に集まる個数が
3個(計270°・正六面体)

正5角形の場合:
頂点に集まる個数が
3個(計324°:正十二面体)

と、このように自動的に決まってしまい、
他の可能性がないのです。

よって、正多角形は5種類しかありません。

お答え致します。

まず基礎的なこととして、正多面体の条件としては、

・使われている多角形が同じ。
・一つの頂点に集まる多角形の数が同じ。

という条件を満たさなければいけません。

たとえば、「上と下が正三角形、側面が正方形の三角柱」
は正多角形だけで構成されていますが、
2種類の多角形が混じるので正多面体にはなりません。
(これらには、「半正多面体(準正多面体)」という言い方があります)

また、「正二十面体の中間を抜かした十面体」
は、一つの多角形だけで作られていま...続きを読む

Q円の接線はなぜ接点を通る半径に垂直なのかわかりません

中学生です。
いま、授業で円の接線について勉強しています。
教科書には、「円の接線は、接点を通る半径に垂直である」と書いてあるのですが、どうしてなのかわかりません。
通常なら、ここでこれを証明するはずなのですが、あたりまえのように書いてあるだけで証明がないんです。
これは定理ではないのでしょうか。

Aベストアンサー

教科書風の証明としては、No.7さんの雰囲気で、

(1)接点を通る半径に垂直に交わってる直線を考えると、この直線は、接線の時以外は円といつでも2点で交わっています。そして、合同な2つの直角三角形が常に現れていています。
(2)ここで、この直線と半径の交点を接点に近づくように直線を動かしていくと、2つの交点は、今考えている半径に対して、左右対称の位置のまま接点に近づいていきます。
(3)そして、直線と半径との交点が接点の位置になったとき、この2つの交点は一致して、それは接点の位置になります。そしてこのとき、直線は接線となり、いま考えている半径に対して垂直のままです。

こんな感じですが・・・。

Qオイラーの定理って何ですか?

オイラーの定理って何ですか?中学受験をするのに必要なんですが、小学6年生でも理解できるような説明をいただけたらと思います。

Aベストアンサー

立体図形なら、オイラーの多面体定理はどうでしょう?

はじめに立体の面をひとつ取り除いて
その立体を平面に「ぐちゃ」っと潰してから
1つずつ辺を取り除いていくと
「面」か「頂点」のどちらかが1つずつなくなっていきます。
したがって、頂点をV、辺をE、面をFをすると
V-E+F
が一定(不変)であることがいえます。
この操作を行うと、最後は頂点-辺-頂点という図形になるので、V-E+F=2-1+0=1
実ははじめに面を1つ取り除いていたのでこれを補うと、実は立体についてV-E+F=2が成り立つ

というものです。

参考URL:http://toretate.fc2web.com/bgmath/theorems/chinatu2.html

Q理系は国立志向が非常に強いですが、そんなに私立はダメですか?

僕は今年東大に落ち、慶應理工に行くことになっています。
(まだ入学金を払っていないので24日までなら一応変更は可能です。)
しかし、慶應理工にいくのはなんとなく気がすすみません。
学校の進路指導で理系は国立の方が良いと散々言われてきましたし、
このサイトにおいてもこういう類の質問では必ずそう言われます。
しょうもないですが、可能性の高かった東工大を
受けておけば良かったと今になって後悔しています。

僕は将来、大学の研究職に就きたいと思っているので、
国立へ行った方がいいのは明らかなのですが、
慶應理工から大学の研究職を目指すんだったら、
一浪して東大(もしくは東工大)へ行った方がいいですか?
設備面や教育面で私立は国立に劣るようなのですが、
同じように勉強を頑張るならば私立と国立の大学4年間で、
研究の実力などにかなり差が出るものなのでしょうか?

慶應理工に進学するなら頑張れば国立にひけをとらないという気持ちで行きたいし、
そういう気持ちになれないなら浪人も考えざるを得ないです。
現時点では進学にも気がすすまず、浪人にも気がすすまず、
人生の中でワースト5に入るくらいにピンチな状況です。

僕には学校の進路指導やインターネットで集めた断片的な知識
しかないので、回答とともにアドバイスお願いします。

僕は今年東大に落ち、慶應理工に行くことになっています。
(まだ入学金を払っていないので24日までなら一応変更は可能です。)
しかし、慶應理工にいくのはなんとなく気がすすみません。
学校の進路指導で理系は国立の方が良いと散々言われてきましたし、
このサイトにおいてもこういう類の質問では必ずそう言われます。
しょうもないですが、可能性の高かった東工大を
受けておけば良かったと今になって後悔しています。

僕は将来、大学の研究職に就きたいと思っているので、
国立へ行った方がいいの...続きを読む

Aベストアンサー

私立が良くないのは、
1.教員に対して学生数が多すぎる
2.どうも、教員の授業だ何だが国立より多いようだ
3.「研究設備」が貧弱なことが多い(必ずしもそうとは限らない)
4.3.に関連して、概ね大学院が弱い
5.よくは知りませんが、大学院定員がどうなっているか、東大東工大のように研究室の選択肢が豊富か
6.学費が高い
7.結果的に研究志向の学生は若干少ないかも
なんて辺りではないでしょうか。(ものすごく詳しいわけではありませんが)

1.は解りにくいと思いますが、
あなたの高校のクラスが30人から90人になったらどうでしょう。
ま、これは教室だけ広げてマイクでも付けておけば何とかなるでしょう。
ところが、研究室配属以降だとどうなるかというと、教員一人が4年生3人の面倒を見るところと、6人の面倒を見るところでは、目の行き届き方が違うでしょう。(極端ではありますが、ピアノのレッスンを想像すると良いかも知れません。)
勿論、3人だ6人だというのは4年生の数であって、修士博士と他にも学生は居るわけです。
研究面で弱いと、それだけ博士課程(後期?)の学生が少なくなるでしょう。
充実した研究室であれば、博士課程後期の学生も少なくないことが多いので、彼らに4年生修士1年生の面倒を見させれば、大体どうにかなります。
なお、4年生になっただけでは、通常研究なんて何にもできません。
つまり、授業だなんだで忙しいわ、抱える学生の数は多いわ、手伝ってくれる博士は少ないわ、という三重苦になりかねません。
理論系だと違うかも知れませんけどね。

また、東大東工大の場合、学内で行ける研究室が多くなります。
これは結構便利なことで。
情報が入って来易いですし。(もっとも十分な情報だとは限りませんが....)
自分のしたいことに近いことは選び易くなります。(ま、学内に限る必要もないんですが)
早稲田慶応でそこまで選択肢があるのかな、と。

入試の話に戻れば、文系がセンターで数学をやる場合は、得意不得意の差があり大変だと思いますが、理系の場合は差がそれほど出そうにない国社ですから、そういう意味でも理系なら国立を目指すべきだという指導は間違いではないと思います。

というわけで、早慶と東工大東大、両方受かっていれば後者、どっちを目指すかでも後者だとは思います。
しかし、国立優位というのは何れも研究室所属後のことでは無かろうかと思います。
私立で学部生をしたことはないのですが、おそらくは、研究室所属前であれば、そんなに変わらないのではないかと思います。

東工大よりは確実に良さそうなのが、
女の子が居る、キャンパスにたぶん華がある。
くだらないことかも知れませんが、長い人生まるっきり無駄なことだとは思いません。
男子校から男子校へ行くようなことになりかねない人は特に。

> 人生の中でワースト5に入るくらいにピンチな状況です。

全然甘いです。
だって慶応に受かってるんですから。(笑)
全落ちならワースト-10でしょうか。
このくらいのことで一々動揺してはいけません。
悩むのは大いに結構ですけどね。
そんなに悪い状況ではありませんよ。という客観的な視点は持っておいた方が良いでしょう。
本当にそれがワースト5なら、今まで何もしてこなかったって事ですから、そっちの方がかなり拙いですよ。

慶應に行っても浪人しても、どっちでも良いとは思いますが、浪人する場合、精神的には弱いのかな、というところが気になります。

私立が良くないのは、
1.教員に対して学生数が多すぎる
2.どうも、教員の授業だ何だが国立より多いようだ
3.「研究設備」が貧弱なことが多い(必ずしもそうとは限らない)
4.3.に関連して、概ね大学院が弱い
5.よくは知りませんが、大学院定員がどうなっているか、東大東工大のように研究室の選択肢が豊富か
6.学費が高い
7.結果的に研究志向の学生は若干少ないかも
なんて辺りではないでしょうか。(ものすごく詳しいわけではありませんが)

1.は解りにくいと思いますが、
あなたの高校のクラスが30人か...続きを読む


人気Q&Aランキング