球の表面積・体積の公式を…

球の 表面積も体積も
4や3/4を使っていた気はするのですが…
それ以上は思い出せず(~_~;)
なので どちらかだけでもお分かりの方は
ぜひ 教えて下さい!

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体積」に関するQ&A: 体積の比較について

A 回答 (2件)

検索する気は全くなし…?



表面積
S=4πr^2

体積
V=4/3πr^3

参考URL:http://ja.wikibooks.org/wiki/初等数学公式集
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
ちょうどこのページを開いたままだったので
検索するより早いかな…? と(^^;)ヾ

みなさん わかりやすく回答して下さるので(^^)

お礼日時:2010/10/11 12:09

公式の覚え方です。



面積:心配あ~るの事情
体積:身の上心配あ~るの惨状

面積が平方なので二乗、体積は同様に三乗、でどっちがどっちかは覚えてください。
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体積」に関するQ&A: 体積・容積の違いって?

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Q体積から重量の計算方法

昨年よりネット通販の業務に就いたばかり、ズブの素人でわからない事ばかりですが、その中で商品を発送する際にある運送会社を使って商品を発送する際は、料金表が重量基準(kg)となっている為、重量がわからない場合は、その商品の体積(M3)より重量を計算する必要があるのですが、計算の仕方がよくわかならいので出入りしている運送業者にたずねたところ、業界的には、体積より重量を計算する場合は、体積(M3)x280=換算重量(kg)になると教えられました。(例:体積1m3の場合 1x1x1x280=280kg) しかしながら、この計算方法についての(特に280という値)の根拠を聞いたところ、その人も昔からこれで教わったので根拠についてはよくわからないとの事です。 今、会社の上役よりこの計算方法について色々つっこまれていますが自分自身この計算方法の根拠が正しいのかよくわかりません。 どなたかこの計算方法が果たして正しいのか? その場合の根拠(280とう値等)、正しくない場合は、どの様に体積から重量へ換算すればよいのかアドバイス頂けますでしょうか? (色んなサイトを見ると水で考えると1m3=1t等の算数的説明がありますが出来れば実務的な方法でご教授頂ければ幸いです。)

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Aベストアンサー

クロネコヤマトの「容積換算重量」にその「280」という数字を使います。
http://www.kuronekoyamato.co.jp/yamatobin/yamatobin.html

>お荷物1つあたりの「重量」は、実重量を測った上で容積換算(下記参照)を行い、
>「容積換算重量」と比較して重い方が「重量」となります。

>【容積換算式】
>縦(メートル)×横(メートル)×高さ(メートル)×280=容積換算重量(kg)

容積と重量の関係は、梱包の仕方によっても違ってくるので一定ではないはずなので
No.1さんが言われるように経験則から決定したものと思われます。

>会社の上役よりこの計算方法について色々つっこまれていますが

クロネコのように説明ページにも載ってるのでこれを示せばよろしいのでは。

Q球の表面積と体積の公式の関連性について

球の表面積=4πr^2  …(1)
球の体積=(4/3)πr^3 …(2)
ですが、
(1)→(積分)→(2)
(2)→(微分)→(1)
という関係が成り立ちますね。これって単なる偶然ですか?それとも必然ですか?
もし必然ならどうしてこうなるのかわかりやすく教えてください。

Aベストアンサー

>それとも必然ですか?

必然です。

半径10cmの球の体積は、半径0cm~半径10cmの球の表面積をすべて足した値になります。

「半径0cm~半径10cmの球の表面積をすべて足す」のは「積分」と同じですから

>(1)→(積分)→(2)

になって当然です。ならないと困ります。

微分は積分の逆ですから、

>(2)→(微分)→(1)

になって当然です。ならないと困ります。

Q体積の計算方法について

体積の計算方法について、質問させて頂きます。
円柱は、両面(天面と底面)が円ですが、その天面を握りつぶしたような形状で、ちょうど「ねりわさび」のチューブ胴部分の体積の計算方法をご存知の方がおられましたら、ご教授御願いします。
水を入れての測定等は可能なんですが、どうしても計算で測定したいのです。よろしく御願い致します。

Aベストアンサー

#3です。
補足します。

A#3の立体モデルの形状は
底面が半径aの円、天面は長さ2aの線分で高さL、正面図(立面図)が長方形、側面図が三角形のモデルを想定しています。V==πL(a^2)/2
(A#3の下から3行目のV=SL/2=πL(s^2)/2の式のsはaのミスです。)

他の形状モデルについて
トイレットペーパーの芯の筒の片方を潰した形状モデルの場合を考えて見ました。
底面は半径aの円、上部は円筒を潰した直線(長さπa)
上部を線状に潰した時の高さをL(筒の長さより短くなります。)、正面図は逆台形、側面図は三角形です。水平断面は簡単のため楕円面(正確には楕円面の周長は2πaとしなければななりませんが)で近似した形状モデルを考えると、体積は以下のようになりました。
V=πL(10-π)(a^2)/6

(計算は高校で覚える積分を使わないとできません。π=3.14159...です。中学では、積分を使って導いた結果の式を公式として利用するか、立体モデルを作って液体を入れて容積を量て体積を求めるしかないですね。)

Q球の体積・表面積

球の体積・表面積の公式ってどうやって導けばいいのでしょうか?
たしか球を無数の三角錐にわけたような気が。
わかるかたよろしくおねがいします!!

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球の体積を求めるには、積分と微分を用いて公式を導きます。円の式を x^2+y^2=r^2 これをx軸のまわりに回転させると、(原点が円の中心、半径rの円)
V=π∫r(上に書きます)-r(下に書きます)y^2dx
 =π∫r、-r(r^2-x^2)dx
 =2π∫r、0(r^2-x^2)dx
 =2π[r^2x-1/3x^3]r,0
 =4/3πr^3  と、公式が導き出せます。
表面積は、円周(2πr)の集合と考えられるので、換言すれば表面積を限りなく0に近づけたものと考えられるので、
球の表面積を微分したものと言えますから、逆に円周を積分すると、4πr^2と言う公式が導き出せます。
 

Qスプリングの体積の計算方法を教えてください

仕事の都合で、スプリングの重量、体積を計算したいのですが
計算式があったら教えてください。
重量の目安程度なので、計算値の精度はそれほど問いません。

Aベストアンサー

スプリング体積Vは次の式で求めることができます。

 V=Lπr^2
     Lはスプリング線長。線長とは線を直線に伸ばしたときの長さで
     L=π×(スプリング内径と外径の平均)×巻き数。
     rはスプリング線の半径、つまり線径の1/2。
     ^2は2乗。

ただし、スプリングの巻きの密度が粗い場合には次の補正が必要です。
 補正後のV=V/cos(θ)
  θは巻きの角度(単位rad)で、θ=arcsin(スプリング長/L)。   

Q微積を使わずに球の表面積や体積を求めるには?

微積を使わずに球の表面積や体積を求めるには?
高3で微積を習うまでずっと疑問だった球の表面積と体積の公式ですが
微積を使わずに求めるにはどうしたら良いでしょうか?
錐体の体積が柱体の体積の1/3になることは使って良いこととしたいと思います
(従って、表面積でも体積でもどちらか一方の求め方がわかれば十分です)。

また「求める」程でなくとも「直感的に理解できる」程度でも結構です
(例「球の表面積は、直径を含む球の断面のちょうど4倍になるんだなぁ」)
が「球形や円柱形の容器に入れる」ようなものではなく
あくまで思考実験で理解できるようなものでお願いします。

↓のような質問は見かけたのですが
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/318118.html
No.2も4も明らかに微積を使ってますよね。

ちなみに中学生とかに教えることを目的としたものではなく
高3までに公式の理由を知る方法があったのかどうか個人的に知りたいだけです。

Aベストアンサー

これなんかどうかしら。
http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/ktaiseki/ktaiseki.htm

Q体積の計算を教えてください

次の物体の体積がわかりません。
計算方法から教えてください。よろしくお願いします。

底辺の半径が12m、高さ12mの円錐があります。
底辺の中心から6.9m離れたところで、底辺から垂直に切断した時、小さいほうの物体の体積は何m3になるでしょうか。

Aベストアンサー

図1のように、円錐の頂点を原点としたxyz座標空間を考えます(円錐の中心軸がy軸と一致するようにとる)。すると、円錐の母線とyz平面との共有点はz=±yで表せます。

この円錐を、xz平面に平行な平面y=sで切ると、切り口は図2のような円になります。
z=y に y=s を代入すると z=s
よって、切り口の円の半径は s
円の式は x^2+z^2=s^2

したがって、円錐の側面上の点(x,y,z)は、
x^2+z^2=y^2  ・・・式1
で表せます。

次に方向を変えて、この円錐を、xy平面に平行な平面z=sで切ると、切り口は図3のような双曲線の一部になります。
(放物線ではない。)
式1に z=s を代入して、
x^2+s^2=y^2
x=±√(y^2-s^2)  ・・・式2
y=±√(x^2+s^2)  ・・・式3

ここから先は、2通りのうち好きな方で積分をして
車線部分の面積 S(s) を求めます。

しかし、質問者さんが積分を習っていなかったり、積分での答えを求めていなかったら、意味ないので、計算は省略します。

解法1
S(s)=∫【s~12】{√(y^2-s^2)-(-√(y^2-s^2))}dy
=2∫【s~12】√(y^2-s^2)dy

解法2
S(s)=∫【-√(12^2-s^2)~√(12^2-s^2)】{12-√(x^2+s^2)}dx
=2∫【0~√(12^2-s^2)】{12-√(x^2+s^2)}dx

どちらでも S(s) は同じ式になると思います。
あとは、問題で与えられた範囲で面積を積分して体積を求めます。

(小さい方の体積)=∫【6.9~12】S(s)ds

以上です。
積分は公式を見ながらがんばってください。

図1のように、円錐の頂点を原点としたxyz座標空間を考えます(円錐の中心軸がy軸と一致するようにとる)。すると、円錐の母線とyz平面との共有点はz=±yで表せます。

この円錐を、xz平面に平行な平面y=sで切ると、切り口は図2のような円になります。
z=y に y=s を代入すると z=s
よって、切り口の円の半径は s
円の式は x^2+z^2=s^2

したがって、円錐の側面上の点(x,y,z)は、
x^2+z^2=y^2  ・・・式1
で表せます。

次に方向を変えて、この円錐を、xy平面...続きを読む

Q球の体積と表面積。答えが間違ってると思うのです・・

問。

立方体Aに内接する球Kと外接する球Lがある。
(3)KとLの体積の比を求めよ。


答え。
1:3√3


(1)がAとKの表面積の比、(2)はAとKの体積の比です。
この(3)だけ答えを間違えました。
私の回答は、1:2√2です。

解き方としては、Kの半径をx、球K、Lの中心をOとします。
Oから立方体Aの頂点に引いた直線は球Lの半径になり、
またその直線は、立方体Aに内接する球Kの半径から√2xと分かります。
(直線と内接円の半径から、45°、45°、90°の二等辺三角形が出来るため。)
従って球Lの半径は√2xです。

球の体積の公式から、V=(4/3)πr^3なので、
それぞれ、(4/3π)x^3、(8√2/3)πx^3となりました。
なので体積比は、1:2√2となったのです。




この問題集には詳しい解説が載っておらず、回答と解法の一部が載ってるだけです。
その解法の一部ですが、
「立方体Aの1辺の長さをaとすると、球K、球Lの半径はそれぞれ、a/2、√3a/2」
とありました。


どうして回答を間違えたのか、分かりません。
また、解説の球Lの半径が√3a/2となるのも分からないのです。
この二等辺三角形から、1:1:√2が成り立ち、立方体の1辺をaとするなら、
球Lの半径は√2a/2になると思います。




お手数ですが、ご意見。・ご回答お願いします。

問。

立方体Aに内接する球Kと外接する球Lがある。
(3)KとLの体積の比を求めよ。


答え。
1:3√3


(1)がAとKの表面積の比、(2)はAとKの体積の比です。
この(3)だけ答えを間違えました。
私の回答は、1:2√2です。

解き方としては、Kの半径をx、球K、Lの中心をOとします。
Oから立方体Aの頂点に引いた直線は球Lの半径になり、
またその直線は、立方体Aに内接する球Kの半径から√2xと分かります。
(直線と内接円の半径から、45°、45°、90°の二等辺三角形が出来るた...続きを読む

Aベストアンサー

えっと、勘違いされておられます。


Oから立方体Aの頂点に引いた直線は球Lの半径になり、
またその直線は、立方体Aに内接する球Kの半径から√2xと分かります。
(直線と内接円の半径から、45°、45°、90°の二等辺三角形が出来るため。)
従って球Lの半径は√2xです。


ここが間違っています。

あなたの考えでは、立方体の各辺の中点を通る球になりますので外接しません。

立方体に外接する球は立方体の8つの頂点を通る球です。


ここに気づけば、ご自身でも解けますよね。


立方体A任意の2頂点をP、Qとおき、
立方体の辺PQの中点をMとおくとOM=√2x

OP^2=MP^2+OM^2=x^2+2x^2=3x^2

∴OP=√3x

球Lの半径=OP=√3x

となりますので、解答にたどり着くと思います。



球Kの半径を文字に置き換えたほうが計算は楽です。
そこに気付いて計算されたんですから、
数学のセンスはけっこうあるんだと思います。

勘違いされなければ解ける問題です。

頑張ってください。

QEXCELで座標から体積の計算

4点の3次元座標をいれてEXCELで体積の計算をしたいのですができますでしょうか
形は不定形です
よろしくお願いします

Aベストアンサー

計算は出来ます。
計算方法、計算式の問題ですので、どちらかというと数学的なお話です。

4点をABCDとします。
三角形ABCの面積を求めます。
 -BCの長さ、ACの長さ、ABの長さを計算してヘロンの公式
 -角A、ABの長さ、ACの長さを計算して
点DからABCのなす面への距離を求めます。
三角錐(=四面体)の体積=底面積(△ABC)×高さh(点Dから△ABCの距離)×1/3

とか。

--
方法はともあれ、とにかく体積が知りたいぜ。って場合、Excel用のオンラインソフトなどから座標入力できるものが無いか、探してみては?

体積計算アドイン2.1
http://www.vector.co.jp/soft/win95/business/se272062.html
AutoFigure1.0.1
http://www.vector.co.jp/soft/win95/business/se298074.html
Excel面積、体積の計算
http://www.vector.co.jp/soft/win95/business/se252113.html
体積&重心1.6
http://www.vector.co.jp/soft/win95/edu/se288993.html

計算は出来ます。
計算方法、計算式の問題ですので、どちらかというと数学的なお話です。

4点をABCDとします。
三角形ABCの面積を求めます。
 -BCの長さ、ACの長さ、ABの長さを計算してヘロンの公式
 -角A、ABの長さ、ACの長さを計算して
点DからABCのなす面への距離を求めます。
三角錐(=四面体)の体積=底面積(△ABC)×高さh(点Dから△ABCの距離)×1/3

とか。

--
方法はともあれ、とにかく体積が知りたいぜ。って場合、Excel用のオンラインソフトなどから座標入力できるものが無いか、探してみて...続きを読む

Q球の表面積と体積

こんにちは。円の面積はπr^2で求まりますが球の表面積は何故4πr^2なのでしょうか?4が何故つくのか。
また球の体積は4/3πr^3ですが角錐や円錐の体積の場合は底面積×高さ÷3。球の場合も高さ(r)÷3の部分は同じですが多角形の面積=多角形の面積の和=球の表面積で球の表面積4πr^2をかけますよね。角錐や円錐は底面積をかけるのに何故表面積をかけるのでしょうか?変な質問ですいませんが回答お願いします。

Aベストアンサー

 積分すればそうなる、というのが結論なんですが、積分を使わないと正確な説明は難しいです。

 球の体積から。
 角錐の体積は角柱の体積の 1/3 ということを証明なしに認めているので、円錐の体積は円柱の体積の 1/3 というのもいいですね。
 ここで証明なしに「球の体積は高さ2rの円錐の体積の2倍である」というのを導入します。つまり、高さ 2r の円錐、半径 r の球(=高さ 2r)、高さ 2r の円柱 の3つの体積の割合は、1:2:3 になります。

 円柱の体積は 底面積 πr^2 × 高さ 2r = 2πr^3
 そこで 球の体積 = 2πr^3 × 2/3 = (4/3)πr^3
 (ついでに、円錐の体積 = (2/3)πr^3 )


 次に、球の表面積。
 球の表面に小さい三角形を考え、この三角形と球の中心を結ぶ三角錐を考えます。三角形の面積を s とすると、三角錐の体積は

s×r÷3 = (1/3)sr

 球の表面全体を小さな三角形に分け、それらの体積の和を取ると、
(1/3)sr の和 になりますが、これが球の体積 (4/3)πr^3 にひとしくなります。ここで三角錐の底面積 s の和は 球の表面積 S になりますから、

  (1/3)Sr = (4/3)πr^3

 ここから S = 4πr^2 が出てきます。

 下にサイトも参考になると思います。
   ↓
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/intuition.htm

 積分すればそうなる、というのが結論なんですが、積分を使わないと正確な説明は難しいです。

 球の体積から。
 角錐の体積は角柱の体積の 1/3 ということを証明なしに認めているので、円錐の体積は円柱の体積の 1/3 というのもいいですね。
 ここで証明なしに「球の体積は高さ2rの円錐の体積の2倍である」というのを導入します。つまり、高さ 2r の円錐、半径 r の球(=高さ 2r)、高さ 2r の円柱 の3つの体積の割合は、1:2:3 になります。

 円柱の体積は 底面積 πr^2 × 高さ 2...続きを読む


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