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状態密度について

すいません。グラフに左と右と書いてあるんですが、上と下でお願いします。

状態密度g(E)=単位エネルギーあたり単位体積あたりに何個の電子が入るか
だそうです。
単位は[eV^(-1)cm^(-3)]です。

授業で先生が主に上の方の図を書いてたんですが、一次元量子井戸の状態密度の所で下の図を書きました。でも、三次元量子井戸の所では上の図を書きました。

1次元量子井戸の時はなんで下の図のようになるんでしょうか?

授業の内容が難しくて具体的に何をやっているのか分りませんでした。
なんで、状態密度はエネルギー?に比例したり反比例したりするんでしょうか?
そもそもエネルギー?とは何のエネルギーなんでしょうか?
状態密度とかフェルミ準位とかフェルミディラック分布関数とかマックスウェルボルツマン関数とか意味が分りません。

具体的に何をしているのか分りやすく具体的に教えてください。
お願いします。

「状態密度について」の質問画像

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A 回答 (2件)

一次元量子井戸、三次元量子井戸のエネルギー固有値は


それぞれ
E∝n^2
E∝(n_x)^2+(n_y)^2+(n_z)^2
n,n_x,n_y,n_zは整数

となります。(詳しくは量子力学の本を読むか
自分でシュレーディンガー方程式を解くかしてみてください。)

エネルギーがE以下の状態の数はそれぞれ下の式のn,(n_x,n_y,n_z)
を満たす個数を求めればいいことになります。

n<定数×E^(1/2)
(n_x)^2+(n_y)^2+(n_z)^2<定数×E

ここで、これを満たす格子点の数はおよそ単位体積(一次元なら長さ)当たりに一個ある
と考えられるので体積で近似します。

するとエネルギーがE以下の状態の数は
一次元では
定数×E^(1/2)
三次元では
定数×E^(3/2)   (球の体積)

状態密度g(E)はエネルギーE~E+dEの状態の数がg(E)dEとなるので
上の式をEで微分して

g(E)∝E^(-1/2) 一次元
g(E)∝E^(1/2) 三次元

つまり図のようになります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
まだ、詳しいことは分りませんが図形の違いが少し理解できただけでも大きな進歩になりました。
これからもっと勉強して深めていきたいと思います。

お礼日時:2010/10/13 13:45

ん?画像が表示されていませんが・・・


こちらのバグでしょうか?
そうだったら申し訳ございません。
とりあえず僕はバカなのでわかるのだけ・・・

フェルミ準位
エネルギー準位の
電子の存在確立が50%のとこを表します。

フェルミディラック分布関数
フェルミ統計における粒子の(フェルミオン)分布関数です

本題の状態密度ですが
結晶や固体材料中でのあるエネルギーをとる電子状態の数のことです
ここでのエネルギーは電子がもつ固有のエネルギーのことだと思います。

・・・今気づきました、授業??高校生ですか?
まあそれは良いとして、粗末な回答で申し訳ありません。
少しでもお役に立てたら幸いです。

この回答への補足

画像が表示されてないですか?
すいません。
大学の講義の話です。

上の図は、横軸がg(E)で縦軸がEで、x^2みたいに湾曲したような図形です。
下の図も同様に、横軸がg(E)で縦軸がEで、g(E)が小さい時はEは大きくg(E)が大きい時はEが小さくなるという反比例したような図形になっています。

補足日時:2010/10/12 23:56
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
まだはっきりと分っていないのでもっと勉強して深めていこうと思います。

お礼日時:2010/10/13 13:42

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Q2次元自由電子の状態密度関数

Z(E);状態密度関数とすると、3次元自由電子の場合、
Z(E)dE=(2m)^(3/2)×E^(1/2)÷(2×π×π×a×a×a) ただしa=h/(2π)
となりますが、2次元自由電子の状態密度関数はどうなるのでしょうか?

Aベストアンサー

> No.2 補足の2行目より
> 面積V(=L^2)においてエネルギーEとE+dEをもつ状態の数は 2×πkdk/vk=k(L^2)dk/2π
> ↑この2がスピン数ではないのでしょうか?

フォントやブラウザー設定によって↑の位置が違って表示されるのですが,
頭の2のことのようですね.
これはスピンから来る2ではありません.

今,2次元ですから,波数が k から k+dk の間の面積は 2πk dk です.
長さ 2πk (つまり円周の長さ)で,幅 dk の面積と考えればOKです.
外側をとれば 2π(k+dk) じゃないかって?
そりゃそうですが,幅の dk を掛けるのですから,
dk の1次までの精度では 2πk でも 2π(k+dk) でも同じことです.

3次元の場合は,球の表面積 4πk^2 に「球殻の厚さ」dk を掛けて
4πk^2 dk ですね.

どうしても納得が行かなければ,円環の面積
π(k+dk)^2 - πk^2 = 2πk dk + (dk)^2
を直接求めてみてもよいでしょう.
ただし,これは円の面積がよく知られているからできるのであって,
いつの場合でもこのようにできるわけではありません.
私としては,前の方の考え方に慣れるようにおすすめします.

というわけで,No.2 の補足の secret-goo さんの計算は1スピンあたりになっています.

> 別に回答に文句を言っているわけではなく、
> 単に私が勉強不足なものでよく分かっていないのです。
> ご気分を損ねましたら本当にスイマセン。

たぶん,どの回答者にとっても回答が読まれて役に立つのは最大の喜びだと思います.
secret-goo さんは回答を読まれて,
さらに自分で考えておられることがよく伝わってきます.
気分を損ねるどころか,「あ,ちゃんと読んでくれたな」というのが私の感想です.

> No.2 補足の2行目より
> 面積V(=L^2)においてエネルギーEとE+dEをもつ状態の数は 2×πkdk/vk=k(L^2)dk/2π
> ↑この2がスピン数ではないのでしょうか?

フォントやブラウザー設定によって↑の位置が違って表示されるのですが,
頭の2のことのようですね.
これはスピンから来る2ではありません.

今,2次元ですから,波数が k から k+dk の間の面積は 2πk dk です.
長さ 2πk (つまり円周の長さ)で,幅 dk の面積と考えればOKです.
外側をとれば 2π(k+dk) じゃないかって?
そりゃそうですが...続きを読む

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Qブリュアンゾーンの物理的な意味

 ブリュアンゾーンは、逆格子空間のウィグナーサイツセルとして定義されますが、物理的にはどんな意味があるのでしょうか。いまいち具体的なイメージがわきません。キッテルを使って勉強しているのですが、回りくどくてよくわかりません。
 さらに、フォノンの波数ベクトルが-π<Ka<-πに限定されると、なぜそこがブリュアンゾーンに対応しているのでしょうか。
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Aベストアンサー

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

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この考え方が他の構造にも適用できます。

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Q半導体の縮退って?

半導体の参考書など読んでいるとよく、「縮退」という言葉が出てきます。しかも、どうやらいろいろなケースで使われているようですが、いまいちよくわかりません。

例えば、
・フェルミ準位が伝導帯中や価電子帯中に位置してるとき。
・スピンが上下二種類埋まっているとき。

に関しては分かったのですが、縮退の一般的意味と共に、他のケースについて、どういったときに縮退というのか具体的に教えていただけませんか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

物理で縮退という用語は主に2つの意味で使われます.

(1) mmky さんご指摘の,
> 同じエネルギーをもつ状態が二つ以上いくつか存在すること.
例えば,クーロンポテンシャル中の荷電粒子のような中心力場では球対称性がありますから,
粒子のエネルギーは角運動量にはよりません.
p 軌道なら3重縮退,d 軌道なら5重縮退.
電子だったら,これにスピンの固有値による2重縮退が加わります.

(2) 電子気体(など)を量子統計で扱わないといけないか,
古典統計でよいかということがあります.
量子統計で扱わないといけない(低温)ときを「縮退している」といいます.
低温かどうかは考えている系のもつ特徴的なエネルギー(例えば,フェルミエネルギー)
を温度に換算したもの(フェルミ温度 T_F)との関連で決まります.
T << T_F なら縮退しています.
縮退ならフェルミ分布関数の分母にある1を無視できないし,
非縮退なら無視してよい(ボルツマン分布になる)というわけです.
sunny_day さんの
> フェルミ準位が伝導帯中や価電子帯中に位置してるとき。
は確かにそのとおりですが,これは縮退のもともとの定義ではありません.
フェルミ準位の位置の結果,そうなっているということです.
なお,フェルミ準位が禁制帯内にあっても,バンド端とのエネルギー差によっては
縮退していることもありえます.

(3) 分子遺伝学でも縮退という用語があります.
1種類のアミノ酸に対応し複数の遺伝子コドンが存在するときにこのように言うようです.
ここら辺は素人なのであまり自信がありません.

物理で縮退という用語は主に2つの意味で使われます.

(1) mmky さんご指摘の,
> 同じエネルギーをもつ状態が二つ以上いくつか存在すること.
例えば,クーロンポテンシャル中の荷電粒子のような中心力場では球対称性がありますから,
粒子のエネルギーは角運動量にはよりません.
p 軌道なら3重縮退,d 軌道なら5重縮退.
電子だったら,これにスピンの固有値による2重縮退が加わります.

(2) 電子気体(など)を量子統計で扱わないといけないか,
古典統計でよいかということがあります.
量子...続きを読む

Q半導体になる元素

半導体になる元素はC,Si,Geがありますが、なぜこれらと同じ14属のSn,Pbは半導体にはならないのでしょうか?分かる方いましたらお願いします。

Aベストアンサー

chiezo2005 さんの説明通りですが、若干(かなり)補足します。

C(ダイヤモンド)やSi、Geなどの単体元素(1種類の元素)からなる結晶では、周期律表の上の元素ほど原子間距離が小さくなるのでバンドギャップエネルギーが大きくなります [1]。同様の傾向は、化合物でも見られます。14族化合物で言えば、Si と Ge の混晶はSi の組成が大きいほどバンドギャップが大きいのですが、同時に Si 組成が大きいほど格子定数が小さくなります。これをベガード則といって、これを利用して格子定数の測定値から混晶の組成を求めるという方法がよく使われています。

ベガード則は同じ族の化合物だけでなく、異なる族のII-VI族( ZnOやZnSeなど )やIII-V族( GaNやGaAsなど )化合物でも成り立ちます。資料 [2] は主な半導体の格子定数とバンドギャップの関係を示したものですが、全体に右下がりになっています。つまり横軸の格子定数が大きいほど縦軸のバンドギャップが小さくなります。III族元素とV族原子がともに周期律表の下にあるInSb は、この表の中で格子定数が最も大きく、バンドギャップは0.25eV程度と半金属になっています。バンドギャップは格子定数だけで決まるわけではないので、同じ格子定数なら同じバンドギャップというわけではないのですが、Si と Ge が直線で結ばれているように、混晶の格子定数とバンドギャップの関係は比例関係にあります。しかし例外もあります。GaIs-InAs系は曲線で結ばれているのでリニアではありませんし、GaAs-AlAs系のように、組成が変わっても格子定数がほとんど変わらない場合もあります。

原子間距離が小さいほどバンドギャップが小さくなるのは、化学結合や半導体物理を学ばれていないと理解が難しいのですが、まず孤立原子を考えます。孤立原子の電子のエネルギーは、水素原子のエネルギーモデルのように、飛び飛びのエネルギー準位になっています [4]。これに対して、結晶のように、複数の原子が規則的に並んでいて、その距離を縮めていくと、準位が広がりを持ってきて、エネルギー的に幅を持った「バンド(帯)」の状態になります。原子間距離が小さいほどバンドが広がっていきますが、バンドが広がってくると、隣接バンド間の間隔(ギャップ)が狭まってくるので、バンド間の間隔(バンドギャップ)が小さくなります。この様子を図示したのが資料 [3] です。このような性質があるため、Sn やPbのように格子定数が小さい物質では、このバンド間の間隔が小さかったり(α-Sn)、重なってしまったり( β-Sn、Pb ) するので、半金属や金属になってしまいます。Ge のバンドギャップが Si より小さいのもこのためです。格子定数が大きいほどバンドギャップが小さくなるというのは、バンドギャップの温度依存(高温ほどバンドギャップが狭くなる)の説明にもなります。物質は高温ほど伸びますが、これは格子定数が大きくなっているからで、このため高温ほどバンドギャップが狭くなるのです。

蛇足ですが、バンドギャップと屈折率にも関係があって、バンドギャップが大きいほど屈折率が小さくなります。ガラスやサファイヤなどバンドギャップが大きいものは屈折率が小さく、バンドギャップの小さいものほど屈折率が大きくなります(したがって光の反射率が高くなる)。この傾向を利用して、バンドギャップの小さい半導体を、バンドギャップの大きい半導体ではさんだダブルヘテロという構造が発光素子では使われています。こうすれば光を内部に閉じ込めることができるので発光効率を高めることができます。

[1] 「3.LCAOによるバンド構造の理解」の部分  http://semicon.kuee.kyoto-u.ac.jp/index.php?%BC%F8%B6%C8%2F%C8%BE%C6%B3%C2%CE%B9%A9%B3%D8%C6%C3%CF%C0
[2] 格子定数とバンドギャップの関係 http://www.isl.titech.ac.jp/~munelab/Test05.pdf
[3] 固体のエネルギーバンド (PDFファイル5ページ) http://www.ee.fukui-nct.ac.jp/~yoneda/text/Lecture/Device2/data/1B.pdf
[4] 水素原子のエネルギー準位 (PDFファイル3ページ) 同上

chiezo2005 さんの説明通りですが、若干(かなり)補足します。

C(ダイヤモンド)やSi、Geなどの単体元素(1種類の元素)からなる結晶では、周期律表の上の元素ほど原子間距離が小さくなるのでバンドギャップエネルギーが大きくなります [1]。同様の傾向は、化合物でも見られます。14族化合物で言えば、Si と Ge の混晶はSi の組成が大きいほどバンドギャップが大きいのですが、同時に Si 組成が大きいほど格子定数が小さくなります。これをベガード則といって、これを利用して格子定数の測定値から混晶の組...続きを読む

Q誘電率の周波数依存性

物質の誘電率がある特定周波数と共振して急激に増加する
という現象はありますか?
また、それに関する情報を教えていただけたら幸いです!

Aベストアンサー

あります。

http://hr-inoue.net/zscience/topics/dielectric1/dielectric1.html

Qフェルミ準位について教えてください

私の持っている資料にフェルミ準位についてこう書かれていました。

「電子が絶対零度で存在することができる最大エネルギーをフェルミエネルギーと言う」

また教科書には

「フェルミ準位よりも下に位置する準位には電子が存在し、この上にある準位には電子がないようなものと考えて良い」

この考えで、真性半導体についての説明をんで混乱しました。

「価電子帯のすべての準位は電子で満たされている。従って絶対零度における電子の存在確率は価電子帯で1、伝導帯で零となり、存在確率が1/2となる。すなわちフェルミ準位は価電子帯と伝導帯の間に位置することになる。」
以下に教科書の図を示します(手書きで申し訳ありません)

EcとEvの間は禁制帯で電子が存在できないはずなのに、図を見ると、禁制帯の間にフェルミ準位があります。 上の教科書の説明からいくと、EfとEvの間には禁制帯ながら、電子が存在できることになりますが.....これはどういうことでしょうか?

このまま読み進めた結果PN接合のところでさらに混乱してしましました。

長くなってしましましたが、回答宜しくお願いします

私の持っている資料にフェルミ準位についてこう書かれていました。

「電子が絶対零度で存在することができる最大エネルギーをフェルミエネルギーと言う」

また教科書には

「フェルミ準位よりも下に位置する準位には電子が存在し、この上にある準位には電子がないようなものと考えて良い」

この考えで、真性半導体についての説明をんで混乱しました。

「価電子帯のすべての準位は電子で満たされている。従って絶対零度における電子の存在確率は価電子帯で1、伝導帯で零となり、存在確率が1/2となる。すなわち...続きを読む

Aベストアンサー

価電子帯の電子は、エネルギーを受けると伝導帯に遷移することはわかりますね?
また、フェルミ分布関数を考えてみると、フェルミエネルギーの点を原点にすると点対称な関数になっています。

遷移する前とした後の電子の準位の中心は、フェルミエネルギーになっているはずです。
電子がいくつも励起されると、分布関数に従ったエネルギー分布を見せます。
これは価電子帯のホールの分布も同じ形で分布します。
電子の分布をみた場合、価電子帯の上端と、伝導帯の下端の間の中心にフェルミエネルギーがあるような分布をしているということから、フェルミエネルギーはこのような位置になります。(ある種の対称性がある為、中心になります)

ドープ原子がある場合、電子が存在できる準位が禁制帯の中にできてしまう為、電子の存在分布が変わり、フェルミエネルギーが少し上もしくは下に移動することも教科書には書いてあることでしょう。


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