-1=<x=<1,-1=<y=<1において、
1-ax-by-axyの最小値が正になるような定数a,bの範囲を求めよ。
つぎのような考え方をとりましたが、よいでしょうか。
yを固定して、xの1次関数としてみると、-a(1+y)x+1-by
y=-1のとき、1+b>0,aは任意
y=-1でないとき、
(1)a>0のとき
(2)a=0のとき
(3)a<0のとき
に場合わけをして、(1)(2)(3)のそれぞれについて最小値をもとめ、これらをyの1次関数とみて
また同様に最小値をもとめる。場合分けが多いので、別の方法があるのかとおもいました。
よろしくおねがいします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
#2です。
ありゃ、分かりにくかったですか?
f(x, y)=1-ax-by-axy
と書かせてもらいますね。
a, bがどんな値であっても、f(-1,-1), f(-1,1), f(1,-1), f(1, 1)のうちのどれかが、f(x, y)の
-1≦x≦1, -1≦y≦1における最小値になるというのはOKですか?
つまり、この4つのうち一番小さいもの(1つとは限らない)が全体の最小値なわけです。
4つのうちどれが最小になるかはa, bの値によって変わります。
そういう場合、一つの考え方は、4つのうちどれが最小になるかをaとbの条件によって場合分けして、
それぞれの場合において、その最小となる1つが正になる条件を調べていくというものです。
しかし、考えてみれば、「f(-1,-1), f(-1,1), f(1,-1), f(1, 1)のうち、最小のものが正」というのは
「f(-1,-1), f(-1,1), f(1,-1), f(1, 1)がすべて正」というのと同値です。
したがって、別に場合分けなどせず、とにかく4つとも調べてみて、4つとも正になる条件を
考えても構わないわけです。
ということで、
f(-1,-1)=b+1>0
f(-1, 1)=2a-b+1>0
f( 1,-1)=b+1>0
f( 1, 1)=-2a-b+1>0
をすべて満たす(a, b)の範囲が答になります。
説明内容が前とあんまり変わってないかも…(汗)
No.2
- 回答日時:
場合分けはいらないでしょう。
1-ax-by-axyは、yを固定すればxの一次関数(もしくはただの定数)。
よってa,bの値にかかわらず、-1≦x≦1なら、x=-1またはx=1で最小値をとります。
よってx=-1または1の場合のみを考えればいいので、逆にxをその値に固定して考えると、
こんどはyの一次関数ですから、-1≦y≦1ならy=-1または1で最小値をとります。
したがって、a,b,c,dがいかなる値であろうとも、1-ax-by-axyが最小になるのは、
(x,y)=(-1,-1).,(-1,1),(1,-1),(1,1)のいずれかの場合です。
よって、それら4点ですべて、1-ax-by-axy>0であれば、最小値は正であると言えます。
回答ありがとうございます
一次関数だから区間の端の点を考えればよいというのは、なるほどと思いました。
ただ、4点すべてで、1-ax-by-axy>0となるところがちょっと理解できませんでした。
No.1
- 回答日時:
場合わけは避けられないだろうが。
x+1=m、y+1=nとすると、0≦m≦2、0≦n≦2となる。
F=1-ax-by-axy=-amn+(a-b)n+(b+1) であるから、先ずmの(一次)関数と見た方が良いだろう。
(1)a≧0の時、F≧-(a+b)n+(b+1)となるから
a+b≧0の時 最小値=1-2a-b>0
a+b≦0の時 最小値=b+1>0
(2)a≦0の時、F≧(a-b)n+(b+1)となるから
a-b≧0の時 最小値=b+1>0
a-b≦0の時 最小値=2a-b+1>0
とした方が、楽に場合わけができる。
回答ありがとうございます
見やすいし、すっきりした場合わけだと思いました。
x+1=m、y+1=nと置き換えるのは、おもいつかない
ところですが・・・
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 東大過去問 最大と最小 5 2023/02/18 13:08
- 数学 2変数関数 難題 2 2023/02/14 15:01
- 数学 東大過去問 最大と最小 私の答案にご指導ください 1 2023/02/20 15:05
- 数学 【高1 数学Ⅰ 二次関数】 二次関数 f(x)=x^2-4ax+8a がある。ただし、aは正の定数と 3 2022/07/23 15:46
- 数学 ラグランジュの未定乗数法を用いる問題 3 2023/05/15 14:48
- 数学 数学 2時間数に関わる問題について教えてください。 x≧1 y≧-1 2x+y=5 であるとき、xy 7 2022/10/29 10:57
- 数学 条件付き極値問題といわれる問題です。ラグランジュの乗数法 について、質問したいことがあります。 条件 3 2023/05/15 21:38
- 数学 至急!!二次関数について aは定数とする。関数y=-x²+2ax-4a+1(-1≦x≦2)の最小値を 5 2023/06/27 23:28
- 数学 関数のグラフ 5 2023/07/20 23:57
- 数学 数1 二次関数 関数 y=x^2-2x-1について、定義域が-1<x<2のとき、最大値最小値を求めよ 5 2023/06/06 12:00
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
2進数のバイアス表現について
-
整式について。
-
全員と同じグループを経験でき...
-
数IIの質問です この問題のAで...
-
至急!!二次関数について aは...
-
不等式
-
2次関数の問題の場合分けで理解...
-
数学2です x>0のとき、x + 16/(...
-
アルキメデスの公理について 任...
-
infの中にsupがあるとき
-
3次元での点群に対する最小二...
-
2次不等式で実数xに対して成り...
-
公務員試験の約数倍数の問題(...
-
3変数の場合の最小値の求め方‐...
-
x.>0ときγ(x)が最小値となるxの...
-
【放物線の問題】
-
最小領域中心法と最小外接中心...
-
以下の問題の解答・解説を教え...
-
1/x+1/y+2/z=1を満たす自然数解
-
最大元と最大値 最小元と最小値...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
全員と同じグループを経験でき...
-
斜線D中を通る直線の傾きkの最...
-
3次元での点群に対する最小二...
-
高校数学1の問題集に、2次関数...
-
2進数のバイアス表現について
-
中学受験用の小5算数の問題です
-
数学2です x>0のとき、x + 16/(...
-
1/x+1/y≦1/2 , 2<x,2<yのとき、...
-
3で割ると2余り、7で割ると4余...
-
問題文は解答欄に載せます。 四...
-
y=x^xの最小値
-
(a+c)(a-c)=(d+b)(d-b)でa,b,c,...
-
2つの放物線間の最短距離
-
高校数学で最小値を求める問題
-
0は公約数?
-
2次関数の問題の場合分けで理解...
-
数学 3次関数の最小値・最大値...
-
間違いの理由を教えてください...
-
x.>0ときγ(x)が最小値となるxの...
-
距離の和を最小にする点を求め...
おすすめ情報