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じゃんけんで2連勝したら勝ちというルールで一方の勝つ確立を求めたい。
今、一方Aが1勝した。その後Aの勝つ確率を求めたい。
無限等比級数を使った解法は判っており、答えは、2/3です。
ところが、ある人から、他に、連立方程式を立てても解けると聞きました。
本当でしょうか?
どなたかその解法を教えてください。それともそれは嘘?

A 回答 (2件)

「あいこを挟んで連勝してもよい」という条件のときが2/3じゃないですか?



別に”連立”方程式でなくても解けますが、
p=1勝しているほうが勝つ確率
q=1敗しているほうが勝つ確率
とすると、
まず、
p+q=1
が言えます。
もし「あいこを挟んで連勝してもよい」という条件であれば、次に勝つか負けるかだけを考えればよいので
1勝しているほうが勝てば勝利で決着、
1勝しているほうが負ければ立場が入れ替わりますので
p=(1/2)+(1/2)q
となります。
この連立方程式を解くとp=2/3が出ます。
もし、「あいこを挟んでの連勝ではだめ」という条件であれば
1勝しているほうが勝てば勝利で決着、
あいこであれば両者同じ立場、
負ければ立場が入れ替わり
ですので
p=(1/3)+(1/3)(1/2)+(1/3)q
です。
これを解くとp=5/8となります。
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この回答へのお礼

orcus0930さん、oxbowさん。早速のご回答本当に感謝いたします。年余に渡って考えていましたが、判りませんでした。気が狂いそうになって助けを求めました。本当にありがとうございます。
私、AならA、BならBでの立場でしか考えられませんでした。立場が変わって、(1/2)qと言う発想ができませんでした。
そしておっしゃるとおり、あいこなしの場合でしか考えていませんでした。orcus0930さんのご指摘にもピンと来なかったので、的外れな補足でした。ごめんなさい。
あいこは、(1/3)の確率で起こり、その時点でAもBも条件は振り出しで勝率(1/2)同士ですね。
正しい解答は、おっしゃるとおり、p=5/8だと判りました。私の計算は、あいこは無としなくてはなりません。または、あいこをはさんで2連勝したら勝ちの確率でした。1/2を初項として、公比1/4の等比級数の和を足しただけでした。
無限大などの知識を振り回さなくても、冷静にそれぞれの場合の条件をしっかり把握すれば判る問題でした。
改めて、よく考えれば、そこから学ぶことで人生をもそのもの考え直させられることとなりました。
再度、orcus0930さん、oxbowさんに御礼申し上げます。ありがとうございました!!

お礼日時:2010/10/17 16:11

条件を再確認したい.



あいこの場合は,どうなるの?
A勝ち→あいこ→A勝ち
の場合はAの勝利で終わり?

この回答への補足

誤字すみません。確立→確率でした。
補足させていただきます。必ず,2連勝する必要があります。
あいこは、A、Bどちらにも勝ちとなりません。また負けにもなりません。
従ってそこからまたじゃんけんはつづき、Aが2連勝するまで永遠に終わりません。
詰まりあいこは、つぎへ続行ということになります。
求めたいのはそのAの勝つ確率です。しかも、Aがまず一勝した後の条件付確率です。(もちろん負けはBが2連勝した場合で1ー(Aの勝つ確率)です。)詰まり、どうしても無限の問題が生じますが、確率rは、ー1<1の中にあるので、値は収束し、無限等比級数の和の公式で、2/3と解答できるのです。でも、でも、もっと簡単に連立方程式で解けるのでしょうか。推移確立や、マルコフ過程・エルゴード性などを考えて見ましたが、判りませんでした。これらの過程では、無限を定数に推測して理論を進めているようです。どうかお助けお願いいたします。

補足日時:2010/10/17 12:38
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Q3連勝すると優勝。その確率は?

AとBがある試合をし、先に3連勝したら優勝とする。
Aが勝つ確率は1/3
Bが勝つ確率は2/3
このときAが優勝するときの確率を考えたんですが、全くとき方が思いつきません。

2連勝の場合は等比数列の和を使い、答えが出せましたが、
3連勝となるとかなりのパターンがあり分かりません。

Aベストアンサー

n戦試合をしてどちらも3連勝していなくて,
かつn試合目はAが勝っている確率をa(n),
n戦試合をしてどちらも3連勝していなくて,
かつn試合目はBが勝っている確率をb(n)
とします.ただしa(0)=b(0)=1とします.
このとき丁度(n+3)試合目でAが優勝する確率は
(1/3)^3b(n)となります.

で,b(n)に属するような星取表は
………AB 
または 
………BB
となっているわけですが,3連勝がないので
後者の方は 
………ABB
となります.これらの星取表で……Aの
所で止めればこれはa(n-1), a(n-2)に属する
星取表となっています.このことからb(n)についての漸化式
b(n) = (2/3)a(n-1) + (4/9)a(n-2)
を得ます.同様にしてa(n)についての漸化式
a(n) = (1/3)b(n-1) + (1/9)b(n-2)
を得ます.(n>=2)
ここで上の式をn=2,3,...について足し合わせます.
(詳しくは書きませんが上の式とa(0),a(1),
b(0),b(1)の値から無限和の収束が言えます)
Σa(n)をA, Σb(n)をBとおきます.(Σはn=0,1,2,..の和)
a(0)=b(0)=1, a(1)=1/3, b(1)=2/3に注意すると
上の漸化式から
B- 5/3 = (2/3)(A-1)+4/9 A,
A- 4/3 = (1/3)(B-1)+1/9 B
を得ます.これよりB=171/41となります.

よってAの優勝する確率は
(1/3)^3(Σb(n)) = (1/3)^3B = 171/1107 = 0.15447...
となります.

n戦試合をしてどちらも3連勝していなくて,
かつn試合目はAが勝っている確率をa(n),
n戦試合をしてどちらも3連勝していなくて,
かつn試合目はBが勝っている確率をb(n)
とします.ただしa(0)=b(0)=1とします.
このとき丁度(n+3)試合目でAが優勝する確率は
(1/3)^3b(n)となります.

で,b(n)に属するような星取表は
………AB 
または 
………BB
となっているわけですが,3連勝がないので
後者の方は 
………ABB
となります.これらの星取表で……Aの
所で止めればこれはa(n-1), a(n-2)に...続きを読む


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