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定数pに対して、x^3-3x-p=0の実数解の中で、最大なものと最小なものとの積f(p)とする。
pがすべての実数を動くとき、f(p)の最小値を求めよ。

つぎのように考えましたが、文字が多くて、つながりがよくわからなくなり、自信がないので
まちがっているのではないかと思います。よろしくご指摘ください。
y=x^3-3xとy=pのグラフの交点がx^3-3x-p=0の解であることと、y=x^3-3xが
原点対称なグラフであることから、-2=<p=<0,解を小さいほうからα,β,γとするとα<0,0<β<γ。
解と係数の関係から、αγ=-3+β^2。・・(1)
また、α+γ=-β,αγ=p/β より、αとγが実数解より、判別式から、(4p)^(1/3)<β。・・(2)
(1)(2)より、-3+(4p)^(2/3)<αγ 。また、区間-2=<p=<0より、f(p)の最小値は-3。

A 回答 (5件)

どうせ解と係数を使うなら。

。。。
単なる、2次関数の問題に還元される。

少なくても2つの実数解を持つから、この方程式の実数解は3個である。
その3つの実数解をα、β、γとすると、解と係数から α+β+γ=0、αβ+βγ+γα=-3、αβγ=p ‥‥(1)
又、αとβとγは平等だから、α≧β≧γとしても一般性を失わない。
従って、3γ≦α+β+γ≦3α → α≧0、γ≦0 である。
β=-(α+γ)を αβ+βγ+γα=-3 に代入して整理すると、α^2+γ^2+αγ-3=0 ‥‥(2)となる。
α+γ=a、αγ=bとすると、a^2-4b≧0、(2)から、b=a^2-3 → |a|≦2 ‥‥(3)
しかし、αγ≦0 であるから、b≦0 → |a|≦√3 ‥‥(4) 結局は |a|≦√3。

f(p)=αγ=b=a^2-3 であるから、|a|≦√3 の範囲で考えると最小値は -3.
この時、(a、b)=(0、-3)だから、(α、β、γ)=(√3、0、-√3)。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
すっきりしていて、わかりやすい解答でした。
自分の解答のどこがわかりにくいのか、比較して考えました。
βをあっさりと消去すればよかったと反省しています。
あとは、方程式の式の形からグラフで考えればよいのかと
先入観があったのが、いけなかったと思いました。

お礼日時:2010/10/21 10:58

#2です。


返答が遅くなってすみません。

>k^3+ 3k^2= p^2
>の式がどうやってでてくるのかよくわかりませんでした。
前の質問の中で、
>>α+β+r=0,αβ+βr+rα=3,αβr=p
>>最小値より、αrの値を考えればよい。αr=kとおくと、
>>3本の式から、k^3+3k^2-p^2=0 ・・*

と書かれていましたけど・・・、忘れてしまいました?^^
単純にβを消去するだけです。


あと、「実数解の個数」は pの値によって変わりますね。
「必ず 3つ」とは限らないので注意した方がよいです。
このあたりは、問題文での記述も含めて、前の質問を参照してもらった方がよいかもしれません。
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もっと簡単にやるなら。

。。。。w

少なくても2つの実数解を持つから、この方程式の実数解は3個である。
その3つの実数解をα、β、γとすると、解と係数から α+β+γ=0、αβ+βγ+γα=-3、αβγ=p 
β=-(α+γ)を αβ+βγ+γα=-3 に代入して整理すると、α^2+γ^2+αγ-3=0 となる。
これは、(α+γ/2)^2+3γ^2/4=3 と変形できるから、α+γ/2=√3*cosθ、√3*γ/2=√3*sinθ (0≦θ<2π)と置ける。→ α=√3*cosθ-sinθ、γ=2sinθ
よって、f(p)=αγ=√3*sin2θ+cos2θ-1=2sin(θ-π/6)-1≧-3 つまり、最小値は-3。
この時、sin(θ-π/6)=-1から θ=5π/3 → sin(5π/3)=-√3/2、cos(5π/3)=1/2 だから、(α、β、γ)=(√3、0、-√3)。
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>解と係数の関係から、αγ=-3+β^2。

・・(1)

 ここまで置けたらもう答えられたようなものではありませんか。
 「解を小さいほうからα,β,γ」としていますので f(p)=αγ と書けます。
  ∴f(p)=-3+β^2 ≧-3

 従って、β=0となることがあれば -3 がf(p)の最小値となり、その最小値を実現するのはβ=0のときにみ。
 【f(p)の最小値が-3となるための必要条件】

 さて、p=0 のとき与えられた方程式は x^3-3x=0 となり、その解は
  α=-√3, β=0, γ=√3
で p=0のとき β=0 となります。
 【f(p)の最小値が-3となる十分条件の確認】

 従って、f(p)は p=0 のとき最小値 -3 をとることが言えます。
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こんにちわ。



見たことがあると思ったら、過去に質問されていた続きですね。
http://okwave.jp/qa/q6153683.html

確かにいろいろと文字を置いていくので、ややこしいですね。
細かいところは、過去の質問も含め、計算はいいと思います。
ですので、「話の筋」を以下に。

(1) 原点に対称であることを利用して、f(p)が最小となる pの範囲(候補)を絞り込みます。
確か、この問題には「実数解が1つのときはそれを2乗する。」という記述もありましたよね。
このことも利用すると、正確には -2≦ p≦ 2の範囲として絞り込まれます。

(2) 3つの解をα, β, γとおき、さらにα≦β≦γとします。
こうすると、f(p)=αγと表されます。

(3) 解と係数の関係から、pと f(p)(f(p)= kとおいて)の関係を求めます。
k^3+ 3k^2= p^2
ここへ (1)から 0≦ p^2≦ 4であることと組み合わせて、0≦ k^3+ 3k^2≦ 4となる kの最小値を求めます。
この解法のときは、y= k^3+ 3K^2のグラフを描いた方がよいと思います。


>また、α+γ=-β,αγ=p/β より、αとγが実数解より、判別式から、(4p)^(1/3)<β。・・(2)
言いたいことはわかりますが、記述としては物足りないです。
3次方程式の解と係数の関係より、α+γ= -β、αγ= p/βである。
α、γは実数であり、tの 2次方程式 t^2+ βt+ p/β= 0の実数解としても与えることができる。
この 2次方程式が実数解をもつ条件は、判別式:D= β^2- 4p/β≧ 0

もとの 3次方程式と α,γを解にもつ 2次方程式をきちんと区別しておかないといけません。
書くのは面倒かもしれませんが、どちらの「解と係数の関係」を考えているのかがわかるようにしておきましょう。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
自分の解答はいろいろな関係式がでてくるので、
途中で解答が十分なのかどうかが、わからなくなります。
つまり求めた答えが、必要十分なのかがわからなくなる
ような解答になってしまいます。
回答の中の(3) 解と係数の関係から、pと f(p)(f(p)= kとおいて)の関係を求めます。
k^3+ 3k^2= p^2
の式がどうやってでてくるのかよくわかりませんでした。
教えてもらえればありがたいです。

お礼日時:2010/10/21 15:53

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