プロが教えるわが家の防犯対策術!

1=√1=√(-1)(-1)=√(-1)√(-1)=i・i=-1
∴ 1=-1

は明らかにおかしいですが具体的にはどこがおかしいのでしょうか?

色々調べてみたところ,

√(-1)(-1)=√(-1)√(-1)

というところがおかしいみたいで,「√(ab)=√a√b」が成り立つのは,"a,b≧0"のときだけということまではわかりました.
なので上のような変形はできないとのことです.

では,a≧0,b<0のときはどうなのでしょうか?

つまり,a≧0を実数として,

√(-a)=√(-1)a=√(-1)√a=i√a

はなぜ大丈夫なのでしょうか?

上の議論だと,-1<0なので「√(ab)=√a√b」が適用できず,単純に

√(-1)a=√(-1)√a

としていいのだろうかと感じました.

それとも他の場所でしてはならないことをしていたのでしょうか?

混乱してしまったので教えてください.

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (3件)

√(-a) = √(-1) √a は、いろいろと論点を含んだ式です。



まず、等式の成立不成立以前に、両辺がそれぞれ示す値が特定できない。
-a の平方根も、-1 の平方根も、複素数の範囲で2個づつ在り、
√(-a) や √(-1) という書き方では、そのどちらを示しているのか
判断することができません。
それを踏まえて、2通り×2通り=計4通りの式の意味のうち、
2個は成立し、2個は成立しないのです。

この事情は、1 = √(-1) √(-1) = -1 の時と全く同じです。
違うのは、1 = √(-1) √(-1) を満たすような2個の
√(-1) の選び方と
√(-1) √(-1) = -1 を満たすような2個の
√(-1) の選び方に
共通のものが無いため、全体として 1 = √(-1) √(-1) = -1 を満たす

√(-1) の値の選び方の組が存在しないのに対して、
√(-a) = √(-1) √a のほうには、式が成立するような
√(-a) と √(-1) の値の選び方が存在するということです。
だから、ある意味「大丈夫」だとも言えます。

しかし、√(-a) = √(-1) √a が「成立する」と言うときに、
式が成立するような √(-a) と √(-1) の選択が在ることを言っているのか、
√(-a) と √(-1) の任意の選択に対して成立することを言っているのか、
その辺がハッキリしません。
前者の意味では大丈夫であり、後者の意味では大丈夫ではないのですが。

また、√a も伏兵です。a が非負実数なので、ウッカリしていると、
√a は a の平方根のうち正のほうで問題ないような気がしてしまいますが…
√(-a) = √(-1) √a は、両辺が虚数となる式なので、
√a の √ も、複素平方根関数を意味しているのかもしれません。

複素 √z の z に、たまたま正の実数値が代入されたときだけ
突如多価でなくなって、正のほうの値だけを表すというのも、
連続性や微分可能性の意味で問題ある解釈です。

探せば、まだまだ問題点が見つかりそうです。
要するに、多様な解釈を許してしまいそうな、記号法に説明力の足りない式を、
式だけ書きっぱなしにして注釈を添えなかったことに、問題があったのです。
数式は、数学文の一部に過ぎませんから、一般に、式だけで完結させようと
がんばらないで、意図が十分伝わるように、注釈を書き添えたほうがよいのです。
    • good
    • 1

記号の意味を考えればいいのです



√(-1)は「二乗して-1になる数」のうちの一つで,これを i と書く
√(-2)は「二乗して-2になる数」のうちの一つで,これを臨時に X とかく.

さて,一方,√2 iを考えると
(√2 i)^2 = √2 i√2 i = √2 √2 ii = -2
したがって,
Xは √2 iか -√2 i

そこで,Xとして √2 i の方を採用することにして
#iの係数として「正の実数」をとることにする
#これは「2の平方根のうち正の方を√2とする」
#ということのアナロジー

√(-2) = √2 i

こうすると,見た目上
√(-2) = √((-1)(2)) = √(-1) √2 = √2 i
となって都合がいい

あとは 2 を一般の a に置き換えればいい.


裏側には「代数学の基本定理」があり,
さらに計算があとあと容易になるように
ある意味恣意的に記法を定めるという常套手段です.
理論上,これらは完全に正当化されます.

具体的には,実数Rに対して,R係数の多項式の集合R[X]をつくり
R[X]をイデアル(X^2+1)で割った,R[X]/(X^2+1) を考え,これをCとおく
(1) Cは体である
(2) Cの元[1] [X]はCを生成する
(3) [1]と[X]はR上一次独立
(3) Cの部分集合で[1]で生成されるものはRと同型
(4) R係数の多項式はC内で解を持つ(代数学の基本定理)
となることが証明できます.
#(1)から(3)は大学3年生程度の代数の問題.ただし代数学の基本定理は
#純粋な代数だけじゃ無理でどっかに「実数の連続性」が必要.
[1]を1,[X]をiと書くことで見慣れたものになります.
    • good
    • 0

√(a^2)=a(a>=0の時)


    -a(a<0の時)

というのを習いませんでしたか?
貴方の質問の前半は『実数の範囲でだけ成り立つ話』を書いており、実数とは全く異なる数字、複素数が「新たに」定義された世界では通じるとは限りません。
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q1の平方根は√1ですか

中学生の二次方程式です。

ちょっと混乱してしまいました。

x²=1

x=1 又は x=√1

どちらでしょうか。

Aベストアンサー

x=±1です。(マイナスも忘れずに)

√25ではなく5,と書くのと同じですよね。
√は可能な限り外します。

Q負の数の平方根

√(-2)×√(-3)

は通常

√(2)i×√(3)i = √(6)i^2 = -√(6)

と解きますが、

なぜ
√(-2×-3) = √(6)

としてはいけないのでしょうか。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

まず数学的に回答します。
 
厳密にいうと、そもそも
 
 √(-3)
 
のような書き方をしてはいけません。
√aの定義は「2乗してaになる数のうちの正の値の方」なので、aが負や複素数では『正の値』の解が存在しないためです。
よく
 
 i=√(-1)
 
という表記を見ますが、これはiを直感的に理解するための方便であって実際に使ってはいけません。
数学の専門書ではこのような表記はされないか、あっても例外的な表記である旨のただし書きがあるのが普通です。
 
複素数には正負も大小関係もないので、2つある「2乗して-3になる数」の一方を√(-3)、他方を-√(-3)などと選別することは不可能なのです。
 
もっというと実は、iと-iも区別できません。この二つは代数的に完全に平等です。
2乗して-1になる2つの数のうち、どちらをiと決めたのかを説明した本を見たことは無いでしょう?
 
 
 
次に算数的に回答します。
 
i = √(-1)のような書き方を認めて√a×√bと√abを比べてみましょう。
 
まず、 i × i = -1 なので√(-1)×√(-1) = -1 です。
 
一方、√(-1×-1) = √1 = 1 です。
 
従って、√(-1)×√(-1)≠√(-1×-1)である事がわかります。
なので、√(-2)×√(-3)≠√(-2×-3)なのです。

まず数学的に回答します。
 
厳密にいうと、そもそも
 
 √(-3)
 
のような書き方をしてはいけません。
√aの定義は「2乗してaになる数のうちの正の値の方」なので、aが負や複素数では『正の値』の解が存在しないためです。
よく
 
 i=√(-1)
 
という表記を見ますが、これはiを直感的に理解するための方便であって実際に使ってはいけません。
数学の専門書ではこのような表記はされないか、あっても例外的な表記である旨のただし書きがあるのが普通です。
 
複素数には正負も大小関係もない...続きを読む

Q√6=√(-2)(-3)=√(-2)√(-3)=√2i√3i=-6 この計算のどこがおかしいですか?

今高校数学2 複素数と二次方程式 の範囲を勉強しているのですが、
√6=√(-2)(-3)=√(-2)√(-3)=√2i√3i=-√6  
この式のどこが間違っているのか分かりません!教えて下さい!
ご回答宜しくお願いします!

Aベストアンサー

質問者は、多分、複素関数の話をしたいのではないと思います。
-----------------------------------------------
>素数という概念内では根号の中身が負になってもいいのかなと
>思っていたのですが、違うのですか?ご回答宜しくお願いします!

複素数まできちんと学んでいますね?
根号の中身は負で大丈夫です。自信をもってください。
これまでは根号の中身が負の数はNGでした。
これからは、根号の中身が負であってもOKです。
-------------------------------------------------
でも「負の数の根号」とがOKなことと
「負の数の根号」×「負の数の根号」の“計算”が
今まで通りOKなことは違うということです。

つまり、根号の中身が負のときには
√a × √b = √ab 
とは計算してはいけないということ。

数学Ⅰの教科書を見てください。
性質★ a>0 b>0 のとき √a × √b = √ab
と書いてありますよね!

√6=√(-2)(-3)=√(-2)√(-3)=√2i√3i=-√6 

の計算式では左から2つめの=が誤っていて、それ以外の=は正しいです。
--------------------------------------------------

No4の回答について

> √(ー2)(ー3)=√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=√(ー1)²√2√3=√2√3=√6 だから。 ☆

2つ目の=と3つ目の=が計算の性質★に違反しています。

>この部分を√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=i√(2)i√(3)としてはダメな理由を教えて頂けませんか?
ダメでなく、正しいです。(これは自信を持ってください!)
でも数式☆では2つめの=がNGだから、√6とは等しくありませんね!

質問者は、多分、複素関数の話をしたいのではないと思います。
-----------------------------------------------
>素数という概念内では根号の中身が負になってもいいのかなと
>思っていたのですが、違うのですか?ご回答宜しくお願いします!

複素数まできちんと学んでいますね?
根号の中身は負で大丈夫です。自信をもってください。
これまでは根号の中身が負の数はNGでした。
これからは、根号の中身が負であってもOKです。
-------------------------------------------------
でも「負の数の根号」と...続きを読む

Qlim[θ→0]θ/tanθ=1の証明が分かりません。 回答の程宜しくお願い致します。

lim[θ→0]θ/tanθ=1の証明が分かりません。
回答の程宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

いろいろな考え方で、解いてみます。(ちょっと無理があるかも?)
 基礎知識は ・中間値の定理
       ・tanΘが連続で(tanΘ)'=1/(CosΘ)^2 となること。かな。

 lim[θ→0]θ/tanθ において、θ→0の状態でΘ≠0だから分母分子をΘで割って
 lim[θ→0]θ/tanθ=lim[θ→0]1/(tanθ/Θ) の繁分数にすると分子は常に1だから分母の(tanΘ)/Θ に注目して
 分母: lim[θ→0]tanθ/Θ を解くf(Θ)=tanΘとする。f(Θ)は連続で0近傍で微分可能
   中間値の定理より
          (f(Θ)-f(0))/(Θ-0) とすれば(f(Θ)-f(0))/(Θ-0)=f'(α)となるαが存在する。(ただし0<α<Θ)
この状態でθ→0とするからα→0となるのでlim[θ→0]tanθ/Θ=lim[θ→0](f(Θ)-f(0))/(Θ-0)
            =lim[θ→0]f'(α)=lim[α→0]f'(α)=lim[α→0]{1/(Cosα)^2}=1
よって分母も1だからlim[θ→0]θ/tanθ=1が言える。

いろいろな考え方で、解いてみます。(ちょっと無理があるかも?)
 基礎知識は ・中間値の定理
       ・tanΘが連続で(tanΘ)'=1/(CosΘ)^2 となること。かな。

 lim[θ→0]θ/tanθ において、θ→0の状態でΘ≠0だから分母分子をΘで割って
 lim[θ→0]θ/tanθ=lim[θ→0]1/(tanθ/Θ) の繁分数にすると分子は常に1だから分母の(tanΘ)/Θ に注目して
 分母: lim[θ→0]tanθ/Θ を解くf(Θ)=tanΘとする。f(Θ)は連続で0近傍で微分可能
   中間値の定理より
          (f(Θ)-f(0))/(Θ-0) とすれば(f(Θ)-f(0...続きを読む

Q面積を表す文字になぜSをつかうことが多いのか

タイトルどおりの質問です。職場で突然、話題になりました。現在、スクエアの頭文字では、という意見が優勢です。いろいろな説があるのかもしれませんが、「何々では」という予想ではなく、それなりに根拠がある由来をご存知の方、ぜひ教えてください。

Aベストアンサー

No4.の補足です。

歴史的な経緯からすると、繰り返しになりますが、和を表すsumあるいはsummationの頭文字をとったものというのが、数学界での定説です。

同様の見解は、次のURLにも出ています。
三重大学で作った解析学のホームページ内の掲示板での質疑です。
そのものズバリの質問と回答が載っています。
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/keiji04/k_result.htm

そもそも曲線図形の面積を求める方法には2つあります。
(たとえば、野崎昭弘他著「微分・積分の意味がわかる」ベレ出版,2000年,p114参照)

1つは原始的な方法で、既にアルキメデスの時代から知られている、
「図形を細かく分けて、直線で囲む形にして近似し、足し合わせる」という、いわゆる区分求積法です。

この足し合わせるという語は、英語などではsumとかsummationといいます。
そして、後述するライプニッツおよびニュートンによる微積分学以降、
離散量あるいは有限個のものの和を表すのに、この頭文字Sに対応するギリシャ語のアルファベットΣが使われ、
「一つ一つの分割をS1,S2,S3,・・・とおけば、全体の面積S=ΣSi」
という数学記法上の慣習として広まったものです。

つまり、Sを、sumあるいはsummationの頭文字であるとする根拠がここにあります。そして、今では、曲線図形でない場合でも広く一般的に、図形の面積を表すのにSは利用されています。もちろん、面積をSとおくというのは、規則でも強制でもありません。

さて、もう1つ、曲線図形の面積を求める現代的な方法は、積分を使う方法です。
これは、上記のS=ΣSiという表現式で、i=1,2,・・・という分割を無限に続けたときの極限値をもって、その図形の面積とするというものです。
その場合、極限値が存在するなら、各Siは、連続量S(x)に書き換えられて、S=∫S(x)dxと表現されます。
そして、この積分記号(インテグラル記号∫)は、ライプニッツの提案によるもので、
離散量の和の記号Σに対応して、連続量の和として、これまた和を意味するSを縦に伸ばした、イメージ的にも優れた記号と言えます。この事実は、
たとえば、ホームページでは
http://www.nikonet.or.jp/spring/integral/print3.htm
書籍では、
船山良三「身近な数学の歴史」東洋書店,1991,pp.308-313.
などでも述べられています。

ところで、面積がSで表されている場合、書き手によっては、ある「領域(sphere)」の面積を表すという意味で、sphereの頭文字Sを使ったということはあり得ることです。
しかし、残念ながら、squareやsurfaceの頭文字であるとするのは、特別の場合を除いて可能性は低いと考えられます。

一般に、数学の文献では、
「面積」には、通常areaを使います。また、四角形の面積には area of square を、円柱の側面積には surface atea of cylinder を使います。つまり、squareは四角、surfaceは曲面の意味です。
これらは、文献では、
William Dunham"The Mathematical Universe",Wiley,1994.
ホームページでは、
http://www.communicatejapan.gr.jp/yuki/algebra/wordsbook.htm
http://www.monjunet.ne.jp/PT/sampo/006.htm
などでも示されています。

以上、補足です。

No4.の補足です。

歴史的な経緯からすると、繰り返しになりますが、和を表すsumあるいはsummationの頭文字をとったものというのが、数学界での定説です。

同様の見解は、次のURLにも出ています。
三重大学で作った解析学のホームページ内の掲示板での質疑です。
そのものズバリの質問と回答が載っています。
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/keiji04/k_result.htm

そもそも曲線図形の面積を求める方法には2つあります。
(たとえば、野崎昭弘他著「微分・積分の意味がわかる」ベレ出版,2000年...続きを読む

Q数学1の三角比について質問です。sinの値が90度を超えると、直角三角形は作れないと思うのですが

数学1の三角比について質問です。

sinの値が90度を超えると、直角三角形は作れないと思うのですが、

例えば、sin135度=sin45度となるようです。

sin135度ということは、三角形の一つの角の大きさが、135度ということですが、

135度という角度を含む三角形は、そもそも直角三角形にはならないので、なぜsin45度と同じになるのか、理解できません。

Aベストアンサー

解り易い様に直角3角形を使うのだけれど、実際には直角三角形では無く、角度に対して決めたもの。

下の図の左で、赤(y)/青(斜辺)をsinθ、緑(x)/青(斜辺)をcosθと決めた。
それを解り易く直角3角形で置き換えると、右の図。

青(斜辺)は絶対値で正。x,yは正負の符号が付く。
130度の場合はy/青(斜辺)でyは正。
45の場合もy/青(斜辺)でyは正。

どちらも、y/青(斜辺)は同じ値になるでしょう?

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
...続きを読む

Q‘’例‘’として下の写真のようにできますが、 複素数(実数、虚数)でできることは文字や括弧の中が複素

‘’例‘’として下の写真のようにできますが、
複素数(実数、虚数)でできることは文字や括弧の中が複素数であれば、文字や括弧でも同様にできるとすべてに対して言えますか?

Aベストアンサー

> 複素数(実数、虚数)でできること
これの意味するところ次第でしょう。
文字に任意の複素数を割り当てて成り立つなら、文字式のままでも成立しています。
というかそれが文字式の解釈ですよね。
一部の複素数でだけ成り立つ式は文字式としては成り立ちません。
# √(a^2)=(√a)^2 など
# aを非負実数とか制限すれば成立しますが、任意の複素数では不成立

なお画像にあるようなマイナス記号を分数から分子に移動するような式変形は、通常は成り立ちますね。3つめの式でn-1に括弧を付けたように適当な括弧付けは必要ですけど。

Q空集合の数学記号の読み方は?

空集合の記号は φ(ファイ)と習い、今までそのように覚えていました。ところが、現在の数学A(数研出版)の教科書では、ゼロにスラッシュを入れた記号になっています。

この記号は、何と読むのでしょうか?

計算機科学者のクヌース先生の著書でも、空集合はφ(ファイ)ではなく、0(ゼロ)に / (スラッシュ)を入れた記号だと書いてあったと思います。

アメリカでは、φ(ファイ)で教わるのではないのでしょうか?

Aベストアンサー

参考URLによれば、どちらも「ファイ」だそうです。
ただし参考URLによれば「ゼロにスラッシュを入れた記号」の方が正しいことになっていて、「φ」の方は代用とのことですが。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%BA%E9%9B%86%E5%90%88

Q数学について質問です! 方程式で、 |x-2|=3 の時は場合分けをせずに計算できるのに対して |x

数学について質問です!

方程式で、

|x-2|=3
の時は場合分けをせずに計算できるのに対して
|x-2|=3xの時は場合分けをしなくてはならないのですか?

Aベストアンサー

>つまり、c=3xだと、0以上かどうか分からないから…ということですか?

はい、その通りです。xが0以上だなんて問題に書いてませんよね。なのでc=3xだと0以上だと断言できません。


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング