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1=√1=√(-1)(-1)=√(-1)√(-1)=i・i=-1
∴ 1=-1

は明らかにおかしいですが具体的にはどこがおかしいのでしょうか?

色々調べてみたところ,

√(-1)(-1)=√(-1)√(-1)

というところがおかしいみたいで,「√(ab)=√a√b」が成り立つのは,"a,b≧0"のときだけということまではわかりました.
なので上のような変形はできないとのことです.

では,a≧0,b<0のときはどうなのでしょうか?

つまり,a≧0を実数として,

√(-a)=√(-1)a=√(-1)√a=i√a

はなぜ大丈夫なのでしょうか?

上の議論だと,-1<0なので「√(ab)=√a√b」が適用できず,単純に

√(-1)a=√(-1)√a

としていいのだろうかと感じました.

それとも他の場所でしてはならないことをしていたのでしょうか?

混乱してしまったので教えてください.

教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

√(-a) = √(-1) √a は、いろいろと論点を含んだ式です。



まず、等式の成立不成立以前に、両辺がそれぞれ示す値が特定できない。
-a の平方根も、-1 の平方根も、複素数の範囲で2個づつ在り、
√(-a) や √(-1) という書き方では、そのどちらを示しているのか
判断することができません。
それを踏まえて、2通り×2通り=計4通りの式の意味のうち、
2個は成立し、2個は成立しないのです。

この事情は、1 = √(-1) √(-1) = -1 の時と全く同じです。
違うのは、1 = √(-1) √(-1) を満たすような2個の
√(-1) の選び方と
√(-1) √(-1) = -1 を満たすような2個の
√(-1) の選び方に
共通のものが無いため、全体として 1 = √(-1) √(-1) = -1 を満たす

√(-1) の値の選び方の組が存在しないのに対して、
√(-a) = √(-1) √a のほうには、式が成立するような
√(-a) と √(-1) の値の選び方が存在するということです。
だから、ある意味「大丈夫」だとも言えます。

しかし、√(-a) = √(-1) √a が「成立する」と言うときに、
式が成立するような √(-a) と √(-1) の選択が在ることを言っているのか、
√(-a) と √(-1) の任意の選択に対して成立することを言っているのか、
その辺がハッキリしません。
前者の意味では大丈夫であり、後者の意味では大丈夫ではないのですが。

また、√a も伏兵です。a が非負実数なので、ウッカリしていると、
√a は a の平方根のうち正のほうで問題ないような気がしてしまいますが…
√(-a) = √(-1) √a は、両辺が虚数となる式なので、
√a の √ も、複素平方根関数を意味しているのかもしれません。

複素 √z の z に、たまたま正の実数値が代入されたときだけ
突如多価でなくなって、正のほうの値だけを表すというのも、
連続性や微分可能性の意味で問題ある解釈です。

探せば、まだまだ問題点が見つかりそうです。
要するに、多様な解釈を許してしまいそうな、記号法に説明力の足りない式を、
式だけ書きっぱなしにして注釈を添えなかったことに、問題があったのです。
数式は、数学文の一部に過ぎませんから、一般に、式だけで完結させようと
がんばらないで、意図が十分伝わるように、注釈を書き添えたほうがよいのです。
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記号の意味を考えればいいのです



√(-1)は「二乗して-1になる数」のうちの一つで,これを i と書く
√(-2)は「二乗して-2になる数」のうちの一つで,これを臨時に X とかく.

さて,一方,√2 iを考えると
(√2 i)^2 = √2 i√2 i = √2 √2 ii = -2
したがって,
Xは √2 iか -√2 i

そこで,Xとして √2 i の方を採用することにして
#iの係数として「正の実数」をとることにする
#これは「2の平方根のうち正の方を√2とする」
#ということのアナロジー

√(-2) = √2 i

こうすると,見た目上
√(-2) = √((-1)(2)) = √(-1) √2 = √2 i
となって都合がいい

あとは 2 を一般の a に置き換えればいい.


裏側には「代数学の基本定理」があり,
さらに計算があとあと容易になるように
ある意味恣意的に記法を定めるという常套手段です.
理論上,これらは完全に正当化されます.

具体的には,実数Rに対して,R係数の多項式の集合R[X]をつくり
R[X]をイデアル(X^2+1)で割った,R[X]/(X^2+1) を考え,これをCとおく
(1) Cは体である
(2) Cの元[1] [X]はCを生成する
(3) [1]と[X]はR上一次独立
(3) Cの部分集合で[1]で生成されるものはRと同型
(4) R係数の多項式はC内で解を持つ(代数学の基本定理)
となることが証明できます.
#(1)から(3)は大学3年生程度の代数の問題.ただし代数学の基本定理は
#純粋な代数だけじゃ無理でどっかに「実数の連続性」が必要.
[1]を1,[X]をiと書くことで見慣れたものになります.
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√(a^2)=a(a>=0の時)


    -a(a<0の時)

というのを習いませんでしたか?
貴方の質問の前半は『実数の範囲でだけ成り立つ話』を書いており、実数とは全く異なる数字、複素数が「新たに」定義された世界では通じるとは限りません。
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