Ｘ－Ｙ＝π/2,ＸとＹは0以上π以下のとき、

Ｘ－Ｙ＝π/2,ＸとＹは0以上π以下のとき、
sinX＋sinＹの最大値と最小値を求めたいのですが
式をどのように変形していけばいいでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/10/26 16:33

Ｘ-Ｙ=π/2 から

Y=X-π/2　…(1)

0≦Y≦πより
0≦X-π/2≦π ∴π/2≦X≦π…(2)　(∵0≦X≦π)

(1)より
Z=sinX+sinY=sinX+sin(X-π/2)=sin(X)-cosX=√2sin(X-π/4)

(2)より π/4≦X-π/4≦3π/4 であるから
∴1≦Z=√2sin(X-π/4)≦√2

X-π/4=π/4または3π/4の時（X=π/2またはπの時）　最小値Z=1
X-π/4=π/2のとき(X=3π/4の時) 最大値Z=√2

となるかと思います。

No.6 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/10/26 17:13

問題としては単純な問題なんだが、計算ではなく、図形的に解いてみよう。

別にこんな方法をやれとは言わないが、こんな方法もある事を憶えておくと何時か役にたっかもしれない。
そういえば、かって早稲田の理工でこの方法を使うと簡単にいく問題が出された事がある。

座標平面上に、原点Ｏを中心とする単位円をとり、その周上に2点Ａ(cosα、sinα)、Ｂ(cosβ、sinβ)をとる。　但し、π≧α≧β≧0とする。
2点ＡとＢの中点をＰ(Ｘ、Ｙ)とすると、2Ｙ＝sinα＋sinβ　から、点ＰのＹ座標の最大値と最小値を求める事に帰着する。
α-β＝∠ＡＯx-∠ＢＯx＝π/2　であるから、2点Ａ、Ｂをその関係を保ちながら動かすと
(1)　最大値　線分ＡＢとx軸が平行、つまり、α＝3π/4、β＝π/4　の時であるから、2Ｙ＝sinα＋sinβ≦√2
(2)　最小値　∠ＡＯＢ＝π/2　つまり、α＝π/2、β＝0　の時であるから、2Ｙ＝sinα＋sinβ≧1

以上から、1≦sinα＋sinβ≦√2　。

No.5 回答者： info22_ 回答日時： 2010/10/26 16:39

#2です。

A#2の補足です。

Yの値が書いてありませんでしたので補足します。

Y=X-π/2なので
(X,Y)=(π/2,0)または(π,π/2)のとき　最小値=1
(X,Y)=(3π/4,π/4)のとき　最大値=√2
となります。

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/10/26 16:14

こんにちわ。

式の変形は、#1さんが示されているので自分でもよく確認しておいてください。
最大・最小を求めるところ（定義域）で注意です。

X- Y＝ π/2を変形すると、X＝ Y+ π/2となります。
言葉で表現してみると「Xは Yよりも π/2だけ進んでる」と言うことができます。

Xがつねに π/2だけ進んでいる（または、Yがつねに π/2だけ遅れている）状況で、
ともに 0以上 π以下（0≦ X≦ π, 0≦ Y≦ π）となるためには
さらに Xと Yには条件がつきます。


「x, yはともに正で、x+ y＝ 1である。」というときに、x, yが満たさなければならない条件の考え方と似ています。

No.2 回答者： dainghiavotinh 回答日時： 2010/10/26 16:08

X = Y + π/2 -> X+Y= 2Y+π/2

sinX + sinY = 2sin((X+Y)/2)cos((X-Y)/2)
= 2cos(π/4) sin((X+Y)/2)
= 2cos(π/4) sin(Y+π/4)

0<= Y <= π -> π/4 <= Y+π/4 <= 5π/4

-> max(sinX+sinY) = 2cos(π/4) if sin(Y+π/4) = 1 <=> Y = π/4
min(sinX+sinY) = - 2cos(π/4)sin(π/4) if sin(Y+π/4) = sin(5π/4) <=> Y = π

No.1 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/10/26 16:02

　X-Y=π/2　から　X=Y+π/2

　従って、sinX＋sinＹ　は次のように変形できます。
　sinX＋sinＹ
=sin(Y+π/2)+sinY
=cosY+sinY
=√2sin(Y+π/4)　　・・・・★

　sin(Y+π/4)は　Y+π/4=π/2+2nπ（ｎ：整数）のとき最大値１をとります。
　また、Y+π/4=3π/2+2nπのとき最小値－１をとります。

　Yの範囲は 0≦Y≦π　なので　★が
　　最大となるのは　Y=π/4 のときで　√2
　　最小となるのは　Y=π　　のときで　-1
となります。