√(|(xy)|)が点(x,y)=(0,0)全微分可能か調べようとして

√(|(xy)|)が点(x,y)=(0,0)全微分可能か調べようとしています。

全微分の定義から考えると
Δf=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)より
Δf=√{|(x+Δx)(y+Δy)|}-√(|xy|)で、x=0,y=0を代入すると、
Δf=√(|ΔxΔy|)
ここで、(Δx,Δy)→(0,0)より、
Δf=0
よって、Δf=0Δx+0Δy+ε√{(Δx)^2+(Δy)^2}と表せるので、全微分可能である。

となりそうなのですが、そもそも√(|(xy)|)は(x,y)=(0,0)では微分できない気がしています。(点0,0では不連続!)
全微分可能ならば連続であるはずなので、これは矛盾しているように思います。

何か考え方が間違っているのでしょうか。

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2010/11/01 03:05

f(x,y) = √|xy|

は原点で全微分可能にはならない・・・！

No.2 ベストアンサー 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/11/02 13:45

「よって、Δf=0Δx+0Δy+ε√{(Δx)^2+(Δy)^2}と表せる」は誤りです

Δf/√{(Δx)^2+(Δy)^2}→0　がいえなければ、全微分でありません。
y>0,Δy=0,x=0とするとΔf=√|yΔx|だから
∀K>0に対して
∃δ=y/(K^2)>0
0<|Δx|<δ　→
|Δx|<y/(K^2)
Δf/√{(Δx)^2+(Δy)^2}=|√|yΔx||/|Δx|=|√y|/√|Δx|>K
よって
lim_{Δx→0}Δf/√{(Δx)^2+(Δy)^2}=∞だから全微分でない

この回答へのお礼

よく理解できました。ありがとうございます。

お礼日時：2010/12/24 19:31