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∫xe^xsin(x)dx=x(∫xe^xsin(x)dx)-∫1(∫xe^xsin(x)dx)dx

この式変形がわからないのですが。ご教授ください。

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A 回答 (5件)

>もともとは「∫xe^xsin(x)dxの不定積分を求めよ」という問題で



部分積分法の応用です。

(xe^xsin(x))’=e^xsin(x)+xe^xsin(x)+xe^xcos(x)
より、
xe^xsin(x)=∫e^xsin(x)dx+∫xe^xsin(x)dx+∫xe^xcos(x)dx
同様に、
xe^xcos(x)=∫e^xcos(x)dx+∫xe^xcos(x)dx-∫xe^xsin(x)dx

2式の差をとると、
xe^xsin(x)-xe^xcos(x)=∫e^xsin(x)dx-∫e^xcos(x)dx+2∫xe^xsin(x)dx
より、
∫xe^xsin(x)dx=(xe^xsin(x)-xe^xcos(x)+∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dx)/2

あとは、∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dxが分かればいいですね。

上記と同じ方法で、
(e^xcos(x))’=e^xcos(x)-e^xsin(x)
より、
e^xcos(x)=∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dx
なので、
∫xe^xsin(x)dx=(xe^xsin(x)-xe^xcos(x)+e^xcos(x))/2

(積分定数は省略しています)
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この回答へのお礼

わかりやすい解答ありがとうございます。

ただ最初に質問したように「∫xe^xsin(x)dx=x(∫xe^xsin(x)dx)-∫1(∫xe^xsin(x)dx)dx」がなぜいえるのか知りたいんです。

お礼日時:2010/11/02 21:39

部分積分法


∫f(x)g’(x)dx=f(x)g(x)-∫f’(x)g(x)dx
で、
f(x)=x
g(x)=∫xe^xsin(x)dx
とすると、
f’(x)=1
g’(x)=xe^xsin(x)

∫x*xe^xsin(x)dx=x∫xe^xsin(x)dx-∫1*(∫xe^xsin(x)dx)dx


右辺は同じですが左辺が違いますね。

この回答への補足

問題自体が間違ってるんでしょうかね・・。

補足日時:2010/11/02 22:56
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 ANo.2です。



>x(∫xe^xsin(x)dx)-∫1・(∫xe^xsin(x)dx)dx
>=(1/2)xe^x(sinx-cosx)-(1/2)∫e^x(sinx-cosx)dx
>=(1/2)xe^x(sinx-cosx)-(1/2)e^xcosx+C
>とあります。

 これが解説に書かれているとおりだとすれば、問題の式の解説にはなっていません。

 積分した結果 (1/2)xe^x(sinx-cosx)-(1/2)e^xcosx を微分してみれば分かりますが (x+1)e^x*sin(x)-e^x*cos(x) となって 元の被積分関数 xe^x*sin(x) にはなりません。
 問題か解説に誤りがあると見た方がいいでしょう。

この回答への補足

微分するとxe^xsinxになりませんか?僕の計算ミスでしょうか・・。

補足日時:2010/11/02 22:21
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>もともとは「∫xe^xsin(x)dxの不定積分を求めよ」という問題で「ハイレベル理系数学」の例題40にある問題なんですが・・。



 それで右辺は 何に書いてあったのですか?
 右辺を微分しても xe^xsin(x) にはなりませんよ。

この回答への補足

x(∫xe^xsin(x)dx)-∫1・(∫xe^xsin(x)dx)dx
=(1/2)xe^x(sinx-cosx)-(1/2)∫e^x(sinx-cosx)dx
=(1/2)xe^x(sinx-cosx)-(1/2)e^xcosx+C

とあります。

補足日時:2010/11/02 21:21
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 ご質問の式に誤記はありませんか?


 左辺を積分を実行しても右辺にはなりませんし、右辺を微分しても左辺の被積分関数にはなりません。

 左辺の積分の式が ∫ x^2 e^xsin(x)dx の誤りだとしたら、x と xe^xsin(x) に分けて部分積分していると理解できるのですが。

この回答への補足

もともとは「∫xe^xsin(x)dxの不定積分を求めよ」という問題で「ハイレベル理系数学」の例題40にある問題なんですが・・。

補足日時:2010/11/02 20:46
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