No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>もともとは「∫xe^xsin(x)dxの不定積分を求めよ」という問題で
部分積分法の応用です。
(xe^xsin(x))’=e^xsin(x)+xe^xsin(x)+xe^xcos(x)
より、
xe^xsin(x)=∫e^xsin(x)dx+∫xe^xsin(x)dx+∫xe^xcos(x)dx
同様に、
xe^xcos(x)=∫e^xcos(x)dx+∫xe^xcos(x)dx-∫xe^xsin(x)dx
2式の差をとると、
xe^xsin(x)-xe^xcos(x)=∫e^xsin(x)dx-∫e^xcos(x)dx+2∫xe^xsin(x)dx
より、
∫xe^xsin(x)dx=(xe^xsin(x)-xe^xcos(x)+∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dx)/2
あとは、∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dxが分かればいいですね。
上記と同じ方法で、
(e^xcos(x))’=e^xcos(x)-e^xsin(x)
より、
e^xcos(x)=∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dx
なので、
∫xe^xsin(x)dx=(xe^xsin(x)-xe^xcos(x)+e^xcos(x))/2
(積分定数は省略しています)
この回答へのお礼
お礼日時:2010/11/02 21:39
わかりやすい解答ありがとうございます。
ただ最初に質問したように「∫xe^xsin(x)dx=x(∫xe^xsin(x)dx)-∫1(∫xe^xsin(x)dx)dx」がなぜいえるのか知りたいんです。
No.4
- 回答日時:
ANo.2です。
>x(∫xe^xsin(x)dx)-∫1・(∫xe^xsin(x)dx)dx
>=(1/2)xe^x(sinx-cosx)-(1/2)∫e^x(sinx-cosx)dx
>=(1/2)xe^x(sinx-cosx)-(1/2)e^xcosx+C
>とあります。
これが解説に書かれているとおりだとすれば、問題の式の解説にはなっていません。
積分した結果 (1/2)xe^x(sinx-cosx)-(1/2)e^xcosx を微分してみれば分かりますが (x+1)e^x*sin(x)-e^x*cos(x) となって 元の被積分関数 xe^x*sin(x) にはなりません。
問題か解説に誤りがあると見た方がいいでしょう。
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