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e^2xのマクローリン展開を求めたいです

この展開式をxにつおて微分し、d/dx(e^2x)=2e^2xとなることを証明したいです。

同様にして、d/dxsin(3x)=3cos(3x)となることを証明したいです。

ヒントや解法お待ちしてます。

gooドクター

A 回答 (2件)

>e^2xのマクローリン展開を求めたいです



e^xのマクローリン展開
e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+x^5/5!+x^6/6! +...

e^(2x)のマクローリン展開は
e^xのマクローリン展開のxに2xを代入すれば得られます。

e^(2x)=1+(2x)/1!+(2x)^2/2!+(2x)^3/3!+(2x)^4/4!+(2x)^5/5!+(2x)^6)/6! +...
=1+2x+2x^2+(4/3)x^3+(2/3)x^4+(4/15)x^5+(4/45)x^6 +...

>d(e^(2x))/dx
={1+(2x)/1!+(2x)^2/2!+(2x)^3/3!+(2x)^4/4!+(2x)^5/5!+(2x)^6)/6! +...}'
={2/1!+2*2(2x)/2!+2*3(2x)^2/3!+2*4(2x)^3/4!+2*5(2x)^4/5!+2*6(2x)^6)/6! +...}
=2{1+(2x)/1!+(2x)^2/2!+(2x)^3/3!+(2x)^4/4!+(2x)^5/5!+(2x)^6)/6! +...}
=2e^2x

>同様にして、dsin(3x)/dx=3cos(3x)となることを証明したいです。

sin(x)、cos(x)のマクローリン展開は
sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-x^11/11! +... …(1)
cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+x^8/8!-x^10/10! +... …(2)

sin(3x)のマクローリン展開はxに3xを代入すればよいから
sin(3x)=3x-(3x)^3/3!+(3x)^5/5!-(3x)^7/7!+(3x)^9/9!-(3x)^11/11! +...
xで微分
dsin(3x)/dx
=3-3*3(3x)^2/3!+3*5(3x)^4/5!-3*7(3x)^6/7!+3*9(3x)^8/9!-3*11(3x)^10/11! +...
=3{1-(3x)^2/2!+(3x)^4/4!-(3x)^6/6!+(3x)^8/8!-(3x)^10/10!+(3x)^12/12! +...}
=3cos(3x) (∵(2)より)
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e^x のマクローリン展開に 2x を代入するだけでは?

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