oを中心とする半径1の球面上にA,B,Cの3点が有り、線分AB,BC,CAの中点を
P,Q,Rとするとき、OP,OQ,ORのうち少なくとも1つは長さが1/2以下である
ことをしめせ。
ヘクトルで考えましたが、行き詰まりました。
OP,OQ,ORの長さがすべて1/2より大きいとして、矛盾を導こうとしました。
ベクトルをもちいて、ベクトルOAとベクトルOBのなす角は120°より大きいとなりました。
同様に、ベクトルOBとベクトルOCのなす角も、ベクトルOCとベクトルOAのなす角も
120°より大きいとなりました。
このあと、矛盾を導き出せません。どのようにすればいいのかよろしくおねがいします。
No.1
- 回答日時:
こんばんわ。
球面上の点とはいえ、お互いに結んでしまえば「ある平面内」での話になりますよね。
その平面が球の中心に対して、どのような位置にあるのかが違うだけです。
と考えれば、上の「ある平面」が「ある特殊な位置にあるとき」を考えれば、
その特殊な位置よりも上でも下でも、できる三角形はそれよりも小さくなるので、
辺の長さも短くなっているはずですね。
「ある特殊な位置」がわかれば、
平面上の円と内接する三角形の問題として扱うことができます。
おまけヒントをつけておくと、
OP= OQ= OR= 1/2となるときは「きれいな三角形」ができているはずです。
No.5
- 回答日時:
>1/2以下でなく、1/2以上でした。
もし、点A,B,C,Oが同一平面上にあれば、途中まで考えられたように、
OP,OQ,ORの長さがすべて1/2より小さいとすれば、
ベクトルOAとOB、OBとOC、OCとOAのなす角が120°より大きいことから矛盾となります。
点A,B,C,Oが同一平面上にない場合は、
三角形ABCの外心をSとし、外接円の半径をrとすると、
上記と同じ論法で、SP,SQ,SRのうち少なくとも1つは長さがr/2以上です。
その1つを例えばSPとすれば、
OSはABCを含む平面と直角ですから、
(OP)^2=(OS)^2+(SP)^2
≧1ーr^2+(r/2)^2=1-3r^2/4≧1/4 (∵r^2≦1)
∴OP≧1/2
回答ありがとうございます。
なるほど、解答をじっくりみればよくわかります。
自分で解答のように考えを進められるかは、難しいと思いました。
No.7
- 回答日時:
#4(#1)です。
長さの条件が逆だったのですね。
イメージしてみると、
「それぞれの辺の中点が半径 1/2の球の内側にあった場合には、半径 1の球に内接する三角形は作れない。」
という感じですね。
そして、三角形ABCは、半径 1の球の内側になってしまいそうですよね。
中点 P,Q,Rについて、OP, OQ, ORがともに 1/2よりも小さい
⇒ OA, OB, OCはともに 1よりも小さくなる
ということが示せればいいのでしょうけど、直接示すのは難しそうですね。^^;
No.8ベストアンサー
- 回答日時:
座標を導入すると, ほぼ瞬殺なんですよ....
O(0, 0, 0), A(0, 0, 1) とします. で, (A が関係する) OP, OR はどちらも長さが 1/2 未満と仮定します. このとき B と C の z座標はどちらも -1/2 より小さくなり, したがってその中点である Q の z座標も -1/2 より小さい.
これだけ.
回答ありがとうございます
球をイメージしながら、頭のなかで
考えてみましたが、
OP, OR はどちらも長さが 1/2 未満と仮定します. このとき B と C の z座標はどちらも -1/2 より小さくなり
の理由がよくわかりませんでした。
No.9
- 回答日時:
中心角に注目したこんな解答はいかがでしょうか?
一言で言えば、360°を3つの角で分割すると そのうちの少なくとも1つは120°以下になることからの証明です。
(1) ∠AOB+∠BOC+∠COA≦360° を示します。
3点A,B,Cが球Oの大円上にある(4点A,B,C,Oが同一平面上にある)とき ∠AOB,∠BOC,∠COA で一周分ですので ∠AOB+∠BOC+∠COA=360° となります。
点A,B,Cが球Oの大円上にないとき、4点O,A,B,Cを結んで作った図形は四面体になります。
ここで、この四面体をO→A→B→Cと切り開いて展開したものを考えると、この展開図は立体を作るので ∠AOB+∠BOC+∠COA<360° であることが必要十分です。
以上のことから ∠AOB+∠BOC+∠COA≦360° といえます。
(2) 線分の長さの問題を角度(中心角)の問題に置き換えます。
線分OPの長さに着目しますと、OP≧1/2 となるのは ∠AOB≦120° のときです。
このことは他のOQ,ORについても同様ですから、次のように問題を書き換えることができます。
「OP,OQ,ORのうち少なくとも1つは長さが1/2以上である」
⇔「∠AOB、∠BOC、∠COAのうち少なくとも1つは120°以下である」 ・・・・★
(3) 3つの中心角のうち少なくとも1つは120°以下になることを言います。
(1)から∠AOB+∠BOC+∠COA≦360°ですので、∠AOB>120°だとしますと、 ∠BOC+∠COA<240° となります。さらに、∠BOC>120° だとしますと、∠COA<120° となります。
このことは3つの中心角を入れ替えても同様ですから、3つの中心角のうち2つが120°より大きければ残りの1つの中心角は120°より小さいと言えます。
これ以外のケースは、最初の1つの中心角が120°以下となるケースですが、このことは即ち ★ を満足します。
以上のことから、3つの角度のうち少なくとも1つは120°以下になります。
(4) (3)によって★が成立することが示されましたので、「OP,OQ,ORのうち少なくとも1つは長さが1/2以上である」が示されます。
回答ありがとうございます
いろいろ考えてもらえてありがとうございます。
読みこなすのには力不足を実感しています。
点A,B,Cが球Oの大円上にないとき、4点O,A,B,Cを結んで作った図形は四面体になります。
ここで、この四面体をO→A→B→Cと切り開いて展開したものを考えると、この展開図は立体を作るので ∠AOB+∠BOC+∠COA<360° であることが必要十分です。
ここの部分は感覚的には∠AOB+∠BOC+∠COA<360°とわかるのですが、厳密にというとよくわからないところです。
他の所もじっくりと考えないとと思っています。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 中学校 OA=OB=OC=AB=AC=1、 ∠BOC=90°となる四面体OABCの 辺OA上に点DをOD:D 4 2022/10/11 10:07
- 数学 数Bです。 定点O、Aと動点Pがある。ベクトルOA=ベクトルa、ベクトルop=ベクトルPとするとき、 3 2022/07/04 23:12
- 数学 ベクトルと図形の問題で、 △OABの、辺OA、OB上にそれぞれ内分点P、Qがあって(比は分かっている 2 2022/08/01 10:55
- 数学 ゼロベクトルになる理由を教えてください 2 2023/01/30 15:48
- 数学 数B ベクトルについて質問です。 平面上に△ABCと点P、Qがあるとする。次の等式が成り立つ時、点P 2 2022/06/28 19:51
- 数学 何故ベクトルの和の定義は↑AB+↑BC=↑ACなのですか? 11 2022/05/19 19:03
- 数学 75(1)の問題です。この問題の3点A,B,Cは原点Oを基準とした位置ベクトルで表されているって考え 1 2022/06/19 12:06
- 数学 ベクトルについての質問です。 ベクトルの中の定義では、平行な直線は同じ直線として扱うのでしょうか? 2 2023/07/31 19:48
- 数学 このようなベクトルOPをOA OBで表す問題でよく、図のようにs:1-sで置くと思うんですけど、AP 4 2022/08/08 10:25
- 数学 数学の問題で法線ベクトルについて 5 2022/11/13 12:45
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
外積、内積に使われる記号の読...
-
なぜ内積の演算は整式の展開と...
-
ベクトルの問題です。
-
三角形ABCにおいて辺BC CA AB...
-
数学の問題です 四面体OABCにお...
-
高校数学 空間ベクトルでの垂線...
-
mm3とμl
-
平方ミリメートルを平方メート...
-
2つに直交する単位ベクトル
-
PowerPointで台形を描く方法
-
「ノルム、絶対値、長さ」の違...
-
pdf上に描画した図形が印刷され...
-
線を組み合わせた図形の塗りつ...
-
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3の途中式
-
グーグルスプレッドシートの図...
-
平方メートルをメートルに直し...
-
楕円の半径の求め方
-
n次元ベクトルの外積の定義
-
微積分の記号δ、d、Δ、∂の違い
-
単位 ccとml
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
外積、内積に使われる記号の読...
-
数学の問題です 四面体OABCにお...
-
3次元空間内での線分の交差判...
-
台形 ベクトルの問題
-
問) 四面体OABCの辺OAを1:2に内...
-
空間のベクトル、平面上の条件
-
内積の2乗
-
数B ベクトルについて質問です...
-
『緊急』四面体OABCにおいてOA=...
-
高校数学 空間ベクトルでの垂線...
-
【ベクトルと内積】
-
高校数学Bのベクトルの問題です...
-
対辺が互いに垂直な四面体
-
【ベクトルの問題です】
-
oを中心とする半径1の球面上...
-
図形
-
数学Bです
-
|a・b|=Re(a・b) について (...
-
一次元(点、線)は2点、二次...
-
ベクトルの問題です
おすすめ情報