ｏを中心とする半径１の球面上にＡ，Ｂ，Ｃの３点が有り、線分ＡＢ，ＢＣ，

Question

ｏを中心とする半径１の球面上にＡ，Ｂ，Ｃの３点が有り、線分ＡＢ，ＢＣ，ＣＡの中点を
Ｐ，Ｑ，Ｒとするとき、ＯＰ，ＯＱ，ＯＲのうち少なくとも１つは長さが１／２以下である
ことをしめせ。
ヘクトルで考えましたが、行き詰まりました。
ＯＰ，ＯＱ，ＯＲの長さがすべて１／２より大きいとして、矛盾を導こうとしました。
ベクトルをもちいて、ベクトルＯＡとベクトルＯＢのなす角は１２０°より大きいとなりました。
同様に、ベクトルＯＢとベクトルＯＣのなす角も、ベクトルＯＣとベクトルＯＡのなす角も
１２０°より大きいとなりました。
このあと、矛盾を導き出せません。どのようにすればいいのかよろしくおねがいします。

Tacosan · Accepted Answer

座標を導入すると, ほぼ瞬殺なんですよ....
O(0, 0, 0), A(0, 0, 1) とします. で, (A が関係する) OP, OR はどちらも長さが 1/2 未満と仮定します. このとき B と C の z座標はどちらも -1/2 より小さくなり, したがってその中点である Q の z座標も -1/2 より小さい.
これだけ.

naniwacchi · Answer

こんばんわ。

球面上の点とはいえ、お互いに結んでしまえば「ある平面内」での話になりますよね。
その平面が球の中心に対して、どのような位置にあるのかが違うだけです。

と考えれば、上の「ある平面」が「ある特殊な位置にあるとき」を考えれば、
その特殊な位置よりも上でも下でも、できる三角形はそれよりも小さくなるので、
辺の長さも短くなっているはずですね。

「ある特殊な位置」がわかれば、
平面上の円と内接する三角形の問題として扱うことができます。

おまけヒントをつけておくと、
OP＝ OQ＝ OR＝ 1/2となるときは「きれいな三角形」ができているはずです。

nag0720 · Answer

問題おかしくない？

ＯＰ，ＯＱ，ＯＲのＯって球の中心ですよね。

Ａ，Ｂ，Ｃが接近していれば、ＯＰ，ＯＱ，ＯＲはほぼ１になるんだけど。

Tacosan · Answer

なんかおかしいなぁ....
A, B, C のすべてが北極に非常に近いところにあるとすると P, Q, R も当然北極に近くなり, したがって中心 O からの距離は球の半径である 1 に近くすることができるような気がする....
「O を中心とする半径 1 の円周上」なら成り立つんだけど.

naniwacchi · Answer

#1です。

問題をよく読んでいませんでしたね。＾＾；
#2さん、#3さんの指摘のとおり、このままだと問題がおかしいですね。

少し図にしてみました。
端の方に近づくと、辺の中点と球の中心からの距離は 1/2より大きいどころか 1に近づきますね。

nag0720 · Answer

＞１／２以下でなく、１／２以上でした。

もし、点Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｏが同一平面上にあれば、途中まで考えられたように、
ＯＰ，ＯＱ，ＯＲの長さがすべて１／２より小さいとすれば、
ベクトルＯＡとＯＢ、ＯＢとＯＣ、ＯＣとＯＡのなす角が１２０°より大きいことから矛盾となります。

点Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｏが同一平面上にない場合は、
三角形ＡＢＣの外心をＳとし、外接円の半径をrとすると、
上記と同じ論法で、ＳＰ，ＳＱ，ＳＲのうち少なくとも１つは長さがr/2以上です。
その１つを例えばＳＰとすれば、
ＯＳはＡＢＣを含む平面と直角ですから、
(ＯＰ)^2＝(ＯＳ)^2＋(ＳＰ)^2
≧1ーr^2＋(r/2)^2＝1-3r^2/4≧1/4　（∵r^2≦1）

∴ＯＰ≧1/2

Tacosan · Answer

座標を導入していい?

naniwacchi · Answer

#4(#1)です。

長さの条件が逆だったのですね。

イメージしてみると、
「それぞれの辺の中点が半径 1/2の球の内側にあった場合には、半径 1の球に内接する三角形は作れない。」

という感じですね。
そして、三角形ABCは、半径 1の球の内側になってしまいそうですよね。

中点 P,Q,Rについて、OP, OQ, ORがともに 1/2よりも小さい
　⇒ OA, OB, OCはともに 1よりも小さくなる

ということが示せればいいのでしょうけど、直接示すのは難しそうですね。＾＾；

Mr_Holland · Answer

中心角に注目したこんな解答はいかがでしょうか？
　一言で言えば、360°を3つの角で分割すると　そのうちの少なくとも1つは120°以下になることからの証明です。

(1)　∠AOB＋∠BOC＋∠COA≦360°　を示します。
　　3点A,B,Cが球Oの大円上にある（4点A,B,C,Oが同一平面上にある）とき　∠AOB,∠BOC,∠COA で一周分ですので　∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360°　となります。
　　点A,B,Cが球Oの大円上にないとき、4点O,A,B,Cを結んで作った図形は四面体になります。
　　ここで、この四面体をO→A→B→Cと切り開いて展開したものを考えると、この展開図は立体を作るので　∠AOB＋∠BOC＋∠COA＜360°　であることが必要十分です。
　　以上のことから　∠AOB＋∠BOC＋∠COA≦360°　といえます。

(2)　線分の長さの問題を角度(中心角)の問題に置き換えます。
　　線分OPの長さに着目しますと、OP≧1/2　となるのは　∠AOB≦120°　のときです。
　　このことは他のOQ,ORについても同様ですから、次のように問題を書き換えることができます。

「OP,OQ,ORのうち少なくとも１つは長さが1/2以上である」
　⇔「∠AOB、∠BOC、∠COAのうち少なくとも１つは120°以下である」　・・・・★

(3)　3つの中心角のうち少なくとも1つは120°以下になることを言います。
　　(1)から∠AOB＋∠BOC＋∠COA≦360°ですので、∠AOB>120°だとしますと、　∠BOC＋∠COA<240°　となります。さらに、∠BOC＞120°　だとしますと、∠COA<120°　となります。
　　このことは3つの中心角を入れ替えても同様ですから、3つの中心角のうち2つが120°より大きければ残りの1つの中心角は120°より小さいと言えます。
　　これ以外のケースは、最初の1つの中心角が120°以下となるケースですが、このことは即ち　★　を満足します。
　以上のことから、3つの角度のうち少なくとも1つは120°以下になります。

(4)　(3)によって★が成立することが示されましたので、「OP,OQ,ORのうち少なくとも１つは長さが1/2以上である」が示されます。

Tacosan · Answer

A の座標を (0, 0, 1) とします. OP の長さが 1/2未満のとき, OA と OB のなす角に条件がありますね.

OA と OB の内積を
・OA と OB のなす角から
・A と B の座標から
と 2通りで計算して, B の座標が満たすべき条件を導いてください.

ｏを中心とする半径１の球面上にＡ，Ｂ，Ｃの３点が有り、線分ＡＢ，ＢＣ，

こんばんわ。

問題おかしくない？

なんかおかしいなぁ....

#1です。

＞１／２以下でなく、１／２以上でした。

座標を導入していい?

#4(#1)です。

座標を導入すると, ほぼ瞬殺なんですよ....

中心角に注目したこんな解答はいかがでしょうか？

A の座標を (0, 0, 1) とします. OP の長さが 1/2未満のとき, OA と OB のなす角に条件がありますね.

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