プロが教えるわが家の防犯対策術!

物理の微分方程式


高二です。塾で微分方程式を習ったのですが、さっぱりです。。。。

問 質点が速度Vに比例する抵抗力を受けて運動する際、V(t)、X(t)を求めよ。ただし、比例定数をk(>0)とする。

解 ma = mg-kv --1
a = dv/dt --2
v = dx/dt --3
1,2より dv/dt = g-kv/m
よって dv/dt = -k/m(v-mg/k) ---4 ←変数分離型
    (1/v-mg/k)dv = -k/m dt ----5
ここから積分して、計算して
log{v(t)-mg/k} = C-kt/m ----6 (C=log{v(0)-mg/k}) {}は絶対値
そして {v(t)-mg/k} = e^C -e^-kt/m -----7
その後 v(t)=mg/k(1-e^-kt/m)(t≧0) となりました

質問 (1)初期条件ってなんですか?
  (2)4→5の過程はなぜやるんですか?変数分離型ってなんですか?
  (3)6→7の過程でなぜlogがとれるんですか?
  (4)よければx(t)の答えを教えて下さい

とても困っています!部分的でもよいので教えて下さい、お願いします

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (3件)

(1)


たとえば、1個200円のお菓子をx個買うとして、箱代が必ずA円かかるとすると、
支払うお金 = y = 200x + A
ですよね?
ここで、
「5個買ったら、合計1100円だった」(x=5のときy=1100)
という条件を与えると、
1100 = 200×5 + A
より
A=100
となって、箱代100円が定まり、
y = 200x + 100
というふうに関数も定まります。
初期条件というのは、
「5個買ったら、合計1100円だった」
のことです。

(2)
dv/dt = -k/m(v-mg/k) のままで積分しようとすると、
∫dv/dt = ∫-k/m(v-mg/k)
となるので、変ですよね?
だから、dなんちゃらが左と右に1個ずつ、しかも分母にならないように来るように変形すると、
(1/v-mg/k)dv = -k/m dt
となります。
この式を見ると、vやdvは左辺にしかなく、tやdtは(この場合はtはありませんが)右辺にしかありません。
2つの変数が左右にうまく分離できているので、「変数分離」と言います。

(3)
6の両辺の指数を取っているだけです。
たとえば、log[2]8 = 3 ですが、底の2を使って両辺の指数を取ると、
8 = 2^3
となりますよね? 見た目、log[2]が消えたように見えますが、実際は指数を取っています。
左辺のlogが消えたことの代償(?)として、右辺は指数関数になっています。
それと同じことです。

右辺は、C-kt/m のeの指数を取って
e^(C-kt/m) = e^C・e^(-kt/m)
左辺は、
e^(log[e]{v(t)-mg/k}) = {v(t)-mg/k}

(4)
式3を見るとわかりますが、
x = ∫vdt
なので、上でも求まったvの式をぶち込んでtで積分するだけです。

この回答への補足

素早い回答本当にありがとうございます!
大変助かります!

(2)で
dv = -k/m(v-mg/k)dt
として積分するのはダメなんでしょうか?dとtの変数を分離させないと正確な値がでないということなのでしょうか?

補足日時:2010/11/09 01:24
    • good
    • 0

No.1の回答者です。


コメントに答えます。


>>>
(2)で
dv = -k/m(v-mg/k)dt
として積分するのはダメなんでしょうか?dとtの変数を分離させないと正確な値がでないということなのでしょうか?

たとえば、一例として
v=Lx^2+Mx+N (L、M、Nは定数)
と与えられていれば、
∫-k/m(v-mg/k)dt
は計算できます。
単に v=Lt^2+Mt+N を代入してから積分すればよいのですからね。
しかし、最初からvとtの関係がわかっているならば、そもそもvを求めることの意味がないですよね。
vがtのどのような関数であるかがわからないから、微分方程式でその関数を求めるのです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

最初から最後まで本当にありがとうございます!
とても勉強になりました!ありがとうございました

お礼日時:2010/11/09 20:47

#1様が立派な回答を作られておられるので、私はそれについた疑問だけ回答を。



>(2)で
dv = -k/m(v-mg/k)dt
として積分するのはダメなんでしょうか?dとtの変数を分離させないと正確な値がでないということなのでしょうか?


問題文の中でご自身で
>V(t)、X(t)を求めよ。
と書かれておられますね。つまり、速度は時間の関数であり、正確に書くならば

dv = -k/m(v(t)-mg/k)dt

です。これを積分するにはあらかじめv(t)がどのようなtの関数であるかを知る必要があり、今はこのよくわからないvの形を定めようとしているわけです。

そもそもvの形が分かっているなら積分しなくとも、その形が解ですよね^w^

そんなわけで変数分離は積分計算が可能となるように、右辺と左辺にそれぞれの変数を寄せ集めてやるわけです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます!

本当に助かりました!ありがとうございます!

お礼日時:2010/11/09 20:48

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q空気抵抗がかかるときの落下運動

空気抵抗がかかるときの落下運動、もしくは放物運動に
関しての質問です。

抵抗力が速度に比例する場合は、変数分離法を用いて微分
方程式を解くことができるのですが、
抵抗力が速度の2乗に比例する場合の微分方程式が解けませ
ん。具体的には次の式です。

ma = -kv^2 + mg
a:加速度 v:速度

この式の解法をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

変形分離法でも出来ると思います。

mv' = mg - kv^2
m(dv/dt) = mg - kv^2
{1/(mg - kv^2)}dv = (1/m)dt
∫{1/(mg - kv^2)}dv = ∫(1/m)dt

左辺は部分分数分解を使って、積分すると、

log[{(√mg) + v(√k)} / {(√mg) - v(√k)}] = t/m + C (Cは積分定数)

これをvについて解くと、

v = (√mg/k)[(-1 + Aexp{2(√kg/m)t) / (1 + Aexp{2(√kg/m)t})] (A = exp(C))

となります。あとは初速度などの条件を入れて、Aを求めればvが求まります。
ちょっと積分の計算は自信がありませんので、答えは自分で求めてみてください。
こんなんでよろしいでしょうか?あまり得意な方でないので自信がありませんが…。

Q自由落下について

地球上での自由落下についての質問です。
粘性抵抗力が関わるときの運動方程式の解き方が分かりません。
運動方程式は次の式です。
ma=mg-kv
この後の微分方程式の解き方が分かりません。
∫{1/(mg - kv^2)}dv = ∫(1/m)dt
どなたか教えていただけませんか?

Aベストアンサー

お昼にこの質問をみて、いったん削除されたのですが、再度質問なので、詳しく説明します。
aは加速度なので、a=dv/dtよって,mdv/dt=mg-kvよって、(1/m)dt={1/(mg-kv)}dv積分すると∫{1/(mg - kv)}dv = ∫(1/m)dtとなって、聞かれている∫{1/(mg - kv^2)}dv = ∫(1/m)dtにはなりませんが???
もし、∫{1/(mg - kv)}dv = ∫(1/m)dtをとくのでしたら、(右辺)=t/m+A(Aは任意定数)(左辺)=-(1/k)log(mg-kv)なので、mg-kv=Bexp(-kt/m)(Bは任意定数)
v=(mg/k)-Cexp(-kt/m)(Cは任意定数)これは、時間tが増えると、第2項が消えて、速さが一定のv=mg/kに近づくことをあらわしています。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q運動方程式の微分積分の計算

 運動方程式の微分積分の計算方法がわかりません。詳しく教えてもらえると嬉しいです。よろしく、お願いします。以下はテキストの抜粋です。

m・dv/dt = F(r)
両辺に速度 v=dr/dt をかけると
mv・dv/dt = F(r)・dr/dt
となる。ここで、
v・dv/dt = d/dt(1/2v^2)  ← この式変形が、分かりません。1/2も不明です。
と変形できるので、上の式は
d/dt [1/2 mv^2(t)] = F・dr(t)/dt

Aベストアンサー

積の微分の公式
(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
をつかっているだけです。

v^2=v・v
v'=dv/dt

です。

d/dt(v^2)=(v^2)'=(v・v)'=v'v+vv'=2vv'=2v・dv/dt

だから、

v・dv/dt=1/2・d/dt(v^2)=d/dt(1/2v^2)

でしよう。

Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
を教えてください。

それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
Ln(x)でも良いのでしょうか?

30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
なのでLn(x)と同じ意味です

Q空気抵抗の式について

空気抵抗は次式で求められるそうですが、なぜ2で除すのか理解できません。
      F=P*C*S*V^2/2
F:空気抵抗、P:空気密度、C:空気抵抗係数
S:投影面積、V:速度

私なりに考えますと、投影面積(S)に速度(V)をかけてさらに空気密度をかけることで移動した空気の質量が求られ(S*V*P)、その空気は毎秒静止状態から速度Vまで加速されるので加速度がVとなり、力は質量と加速度の積より空気の密度*加速度となり(P*S*V^2)、結局Fは空気抵抗係数を式に加えることで、
      F=P*C*S*V^2
となり、2で除する必要がない気がするのですが・・・
宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

 
 
>> 物体は1秒間にVm進み、気体のほうは1秒間に1/2Vm進む、つまり物体に追い越される。「物体が気体を追い越しながら気体を押す」という点が理解し難い。 <<

 (申し訳ありません!この質問忘れてましたご免なさい。)


 メートルとか秒という巨視的なスケールで考えずに、気流の微小体積部分が微小時間の間に‥とイメージしましょう。物理学全般の定石です。

 「追い越しながら加速」ができるのは、物体の固体摩擦と流体の粘性摩擦があるためです。お互いがこすれ合うだけで相手を加速/減速できますよね。 流体の中では 微細部分どうしもこすれ合ってます。だから物体の表面からもらった速度が 広い範囲に次々と分配されて広がって薄まってゆきます。

 No.4の回答も微小な速度変化のつもりで書きました。(巨視的なスケールで考えてしまうと、V は直線変化と限らないので係数が 1/2 である説明になりません。)
これの元ネタは 力学エネルギの定義 です; 力Fで動いた距離dxの積 Fdx がエネルギの定義、 微小距離 dx の間の速度変化は直線と見なされるので時間積分して距離を求めると係数 1/2 が登場する‥というやつです。 で、ベルヌーイの定理の式は エネルギ保存の法則の式 そのまんまですから 係数 1/2 も素のママで登場してます。それが空気抵抗の式にも引き継がれてる、、、という系図です。



 余談;
 空気抵抗は、速度の1乗で効く「粘性抵抗」と、速度の2乗で効く「慣性抵抗」があります。 どちらも運動量保存の法則によるものです。 前者は 流体が物体表面をなでて通る際に物体の運動量を分与され、それが流体分子同士のランダム衝突でバトンタッチされて物体表面からどんどんバケツリレー式に汲み出されてしまう現象です。 後者は 流体分子が物体と正面衝突して速度V に加速される際に物体側の運動量がモロに減る現象です。
 大胆(かつ不正確)に例えれば、槍のような棒が飛んでる場合、前者は棒の側面を空気がなでる抵抗、後者は棒の正面の面積が空気と正面衝突する抵抗です。
 後者の場合、あまりに急な衝突で 周辺とのやり取りが間に合わないと いわゆる「断熱圧縮」になって空気が高温になります。スペースシャトルで、その高温空気が機体の内部に侵入し、金属が熔けて空中分解に至って乗員が死亡した事故が有名です。(事故当時 「 超音速で空気とこすれたための摩擦による熱が原因 」 という報道説明がよくありました。クルマのブレーキ過熱などの日常経験からの演繹でしょうが、流体力学的に正しいのは粘性抵抗の方ではなく慣性抵抗。後者が圧倒的に大きいです。超音速ゆえ断熱圧縮になり物体先端に集中しました。)

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=908588
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=901153

 もし流体に摩擦が無かったら; 上記の「粘性抵抗」も「慣性抵抗」も「揚力」も起きません。
 
 

 
 
>> 物体は1秒間にVm進み、気体のほうは1秒間に1/2Vm進む、つまり物体に追い越される。「物体が気体を追い越しながら気体を押す」という点が理解し難い。 <<

 (申し訳ありません!この質問忘れてましたご免なさい。)


 メートルとか秒という巨視的なスケールで考えずに、気流の微小体積部分が微小時間の間に‥とイメージしましょう。物理学全般の定石です。

 「追い越しながら加速」ができるのは、物体の固体摩擦と流体の粘性摩擦があるためです。お互いがこすれ合うだけで相手を...続きを読む

Q位置を微分したら速度?

物理で習ったのですが
何故
位置を微分したら速度で
速度を微分したら加速度なんですか?

あと加速度と速度はどう違うのですか?

Aベストアンサー

ご質問の内容から察するに、質問者さんは高校1年生くらいでしょうか。

まず、「微分」の意味を考えて見ましょう。微分は「変化の割合」を意味します。グラフで言えば「傾き」が変化の割合ですね。

つづいて、「位置」について考えましょう。物理学では、物体の運動(=時間の経過と位置の変化)を表すために物体の「位置」を時間と関連付けて、例えば x(t) のように時間の関数で表記します。

位置を時間の関数として x(t) で表現した場合、時間変化に対する位置の変化の割合を物理的に考えると、これが速度に相当します。(速度=単位時間当たりの位置の変化、ですから。) これが、「位置を微分したら速度になる」理由です。

さらに、速度と時間の関係を v(t) で表現した場合、時間変化に対する速度の変化を物理的に考えると、加速度を意味します。(加速度=単位時間当たりの速度変化、ですから。) これが、「速度を微分すると加速度になる」理由です。

まとめますと、
○ 微分の数学的な意味合いは、「変化の割合」である。
○ 時間変化に対する位置の「変化の割合(=微分)」は速度である。
○ 時間変化に対する速度の「変化の割合(=微分)」は加速度である。

という説明で納得していただけましたでしょうか?

ご質問の内容から察するに、質問者さんは高校1年生くらいでしょうか。

まず、「微分」の意味を考えて見ましょう。微分は「変化の割合」を意味します。グラフで言えば「傾き」が変化の割合ですね。

つづいて、「位置」について考えましょう。物理学では、物体の運動(=時間の経過と位置の変化)を表すために物体の「位置」を時間と関連付けて、例えば x(t) のように時間の関数で表記します。

位置を時間の関数として x(t) で表現した場合、時間変化に対する位置の変化の割合を物理的に考えると、これが...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qdv/dt=mg+Kv^2

dv/dt=mg+Kv^2
を解くと、v(t)=√mg/Ktan(mgt+c) (c:任意定数)
が出ました。
ここから、v(0)をいくら大きくしても、v(T)=0を満たすTがπ/2√Kgを超えないことを示すにはどうしたら良いでしょうか?

Aベストアンサー

#2です。
#3の
>速度の二乗に比例した空気抵抗を受ける質点の運動方程式
についてです。

運動方程式は
mdv/d=mg+Kv^2  (K>0)
です。下向きを正にしています。
上向きに投げると減速します。重力だけしか働いていない時よりも減速はきついです。
これだけを見ればKv^2は「抵抗」であると言いたくなるかもしれません。
でも最高点を過ぎると重力と合わさって加速します。
「抵抗」とは運動の邪魔をするような力の働き方についての言葉です。初め減速だがあるところから加速に変わるような力にたいして抵抗という言葉を使うことはできません。鉛直真下方向に重力と重力とは別の力の2つが働いているということがいえるだけです。重力が減速の働きをしているからと言って抵抗であるとは言わないのと同じことです。当然「空気抵抗である」ということもできません。

運動によっては「速度の二乗に比例する空気抵抗」を考える時はあります。
その場合は普通V>0の領域だけに運動を限っています。
mdv/dt=mg-Kv^2
1つの式でV>0,V<0の両方に対応することはできないのです。
(微分方程式の解も異なります。tanは出てきません。)
上に投げればどんな抵抗が働いていたとしても必ず落ちてきますから元の地面までの運動が表現できるような式になっていなければいけないはずです。

速度に比例する抵抗というのがよく出てきます。
mdv/dt=mg-K'v
これは運動の方向と反対向きに働く力であるという条件が常に満たされています。
いつも邪魔をするのです。投げ上げてから最高点までの運動でも最高点から後の落下運動でも抵抗として働きます。その意味では使いやすい式だということになります。

#2です。
#3の
>速度の二乗に比例した空気抵抗を受ける質点の運動方程式
についてです。

運動方程式は
mdv/d=mg+Kv^2  (K>0)
です。下向きを正にしています。
上向きに投げると減速します。重力だけしか働いていない時よりも減速はきついです。
これだけを見ればKv^2は「抵抗」であると言いたくなるかもしれません。
でも最高点を過ぎると重力と合わさって加速します。
「抵抗」とは運動の邪魔をするような力の働き方についての言葉です。初め減速だがあるところから加速に変わるような...続きを読む


人気Q&Aランキング