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数学の問題で、以下のような問題が出ました。

碁石を、上から順番に、その段の値と同じだけ並べていき(1段目に1個 2段目に2個・・・)、n段目まで並べます。
そこから、ある段の碁石を全て取り除いたら、(残りの碁石)÷(残りの段数)が98/3になりました。
何段目の碁石を全て取り除いたでしょう?

どのように解けば、答えが出るでしょうか?

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A 回答 (3件)

n段目までの碁石の数の和は


 n(n+1)/2
そこからある段の碁石をすべて取り除くと、取り除く数は最小で1、最大でnですから、
残りの碁石の数として考えられる最小と最大の数はそれぞれ、
 n(n+1)/2-n=n(n-1)/2
 n(n+1)/2-1=(n+2)(n-1)/2
したがって、これらを残りの段数(n-1)で割ったものが、(残りの碁石)÷(残りの段数)の
値として考えられる最小および最大となるので、nは不等式
 n/2≦98/3≦(n+2)/2
を満たすことが分かります。これを解いて、
 190/3≦n≦196/3
nは自然数で、190/3=63+1/3, 196/3=65+1/3ですから、
 n=64 または 65
題意より、nから1を引いた数は3の倍数であるはずなので、
 n=64

あとは、取り除いたのがm段目であったとすると、
(残りの碁石)÷(残りの段数)=98/3から、
 (64*65/2-m)/63=98/3
これを解いて、
 m=22

したがって、取り除いたのは22段目です。
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この回答へのお礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
不等式を使用し、範囲で考えればよかったのですね。
理解することが出来ました。

お礼日時:2010/11/18 22:23

私も愚直にやる方法しか思い浮かびませんでした。


#1さんとほとんど同じですが、

m段目を取り除いたとすると、
{n(n+1)/2-m}/(n-1)=98/3
という式が立てられますが、これをごちょごちょと変形すると
n-{2(m-1)/(n-1)}=189/3
となります。1≦m≦nなので0≦{2(m-1)/(n-1)}≦2であり、189/3は63+1/3なので、
nは64か65となります。
また整数から分数を引いて分母が3である分数になっていますから、n-1は3の倍数です。
従ってn=64ということになり、m=22も求まります。
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この回答へのお礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
やや分かりにくい部分がありましたが、No.3の方の解説を見て理解することが出来ました。

お礼日時:2010/11/18 22:23

(残りの碁石)÷(残りの段数)が98/3になるので、段数から1を引いたものは3の倍数です。

取り去る前の段数をnとすると、碁石の数÷段数=(n-1)/2であり、これが98/3≒33に近いのはnが64の周辺であるときです。
 そこでこの周辺について下記の表を作ってみると

n   n(n+1)/2   (n-1)*98/3
61    1891     1960
64    2080     2058
67    2278     2156

となり、n=64の時に22段目を取り去れば題意を満たすことが判ります。n=61は一段取り除いたあとの段数(60)に98/3をかけると元の碁石の数を超えてしまうので不適、n=67は100個以上取り除かねばなりませんが高々67段しかないのでやはり不適です。
何か垢抜けしないやり方ですが・・・。

この回答への補足

丁寧なご回答ありがとうございます。
一つだけ、分からないところがありました。

>取り去る前の段数をnとすると、碁石の数÷段数=(n-1)/2であり、これが98/3≒33に近いのはnが64の周辺であるときです。

この、「碁石の数÷段数」というのは、「取り去った後の碁石の数÷取り去った後の段数」という意味でしょうか?
また、どのようにして(n-1)/2になるのでしょうか?


よろしければ、お暇なときに、ご回答いただければ幸いです。

補足日時:2010/11/13 21:49
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この回答へのお礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
やや分からない部分がありましたが、No.3の方の解説を見て理解することが出来ました。

お礼日時:2010/11/18 22:22

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