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円柱
(x-a)^2+(y-b)^2=(D/2)^2  ,  0<=z<=1000
平面方程式
cx+dy+ez+f=0

上のような円柱と平面方程式とが交わってできる楕円の方程式、また
その楕円上の点のうち最大と最小の値をとるzの求め方について教えて頂きたいです。
宜しくお願いします。

A 回答 (2件)

円柱の式を極座標で表すと、


x=a+(D/2)cosθ
y=b+(D/2)sinθ
これを平面の式に代入すると、
ca+(cD/2)cosθ+db+(dD/2)sinθ+ez+f=0
z=-(1/e)(ca+(cD/2)cosθ+db+(dD/2)sinθ+f)
z'=-(1/e)(-(cD/2)sinθ+(dD/2)cosθ)=0
より、tanθ=d/cのときzは極値をとります。
あとは、
cosθ=±c/√(c^2+d^2)
sinθ=±d/√(c^2+d^2)
をz=・・・の式に代入すれば、最大最小が出てきます。
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この回答へのお礼

教えて頂いた手順で進めると求めたい解が得られました。
ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2010/11/16 14:43

円柱の軸と平面の法線が張る平面へ正射影して考えれば、


z の最大・最小を与える点も解るし、
楕円の方程式を探すにあたって、平面の基底をどうとるのがよいか
も見えてきます。
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この回答へのお礼

迅速なご回答ありがとうございました。
参考になりました。

お礼日時:2010/11/16 14:41

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