文字の定数を含む4次方程式の解の個数

(x^2+4x)^2+k(x^2+4x)+5=0
という4次方程式があったとして、kの範囲によってこの方程式の異なる実数解の個数を判別する問題の解き方を教えてください。

式は私が適当に書いたものなので、綺麗な答えはでないと思いますので答えまでは書いていただかなくても結構です。
方針を教えていただきたいのです。

重複する（x^2+4x）を x^2+4x=t とでも置くのだろうか？という推測はついているのですが、そこから動きません・・・

No.6 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/11/25 10:40

＞方針を教えていただきたいのです。

x^2+4x＝t　とすると、判別式≧0から、t≧-4　‥‥(1)
とすると、条件式は、t＾2＋kt＋5＝0だから、t＾2＋5＝-kt　‥‥(2)　と変形する。
従って、放物線：y＝t＾2＋5　と　直線：y＝-kt　との交点の数を(1)の範囲で考えると良い。
この直線は、原点(0、0)を通る傾きが　-kの直線。

グラフを最大限に利用すると、視覚的にもミスを防げる。
以上、質問者の“要望通り”に方針だけ。。。。。。。ｗ　

No.5 回答者： inara1 回答日時： 2010/11/25 07:04

問題の方程式の解は

　　　-2 ±(1/2)*√[ 2*{ 8 - k ±√( k^2 - 20 ) } ]　（複合任意）
です。 k = - √(20)、√(20)、21/4 の 3箇所と、その3箇所ではさまれた4つの領域で実数解の個数が変わります。問題の方程式の左辺のグラフは添付図のようになります。この曲線とx軸との交点が方程式の解です。

f ( a, x ) = ( x^2 +4*x )^2 + k*( x^2 +4*x ) + 5 とすれば
　　　f ( a, -4 ) = f ( a, 0 ) = 5 なので、a の値によらず、 y = f ( a, x ) のグラフは 2点 ( -4, 5 )、( 0, 5 ) を通る
　　　f ' ( a, x ) = 2*( x + 2 )*( 2*x^2 + 8*x + a ) なので、a の値によらず、 f( a, x ) は x = -2 で極値をとる
ことが分かります。

No.4 回答者： stuff_ppo 回答日時： 2010/11/25 02:17

回答No.3です。

申し訳ないです、(2)の解の個数を求めて終わってしまっていました…。
4次方程式の解の個数が最大2個というのは不自然ですね。
No.3の続きです。

　---

(2)の解tに対応する(1)の解xの個数を考えると、
(1)のグラフより
　t = -4 のとき、t1個に対して、xは1個
　t ≧ -4 のとき、t1個に対して、xは2個
対応する。
また、別のtに対して同一のxが対応することはない。

したがって、
k < 11/4 のとき、解4個
k = 11/4 のとき、解3個
k ≧ 11/4 のとき、解2個
（答え）

No.3 回答者： stuff_ppo 回答日時： 2010/11/25 01:57

方針は良いと思います。

この先を解きこなす肝は
・定義域が絞られる
・kを分離して考える
の2点でしょうか。

　---

tを置く事で、今回の問題は、
　x^2+4x = t …(1)
　t^2+kt+5 = 0 …(2)
という連立方程式となりました。

ここで注意したいのは、
(1)の定義域(xの取りうる範囲)は実数全体ですが、
(2)の定義域(tの取りうる範囲)は、(1)の値域として求められる、という事です。
ここがおそらく肝その1ですので、すっきりするまで考えてみてください。

したがって、(1) ⇔ (x+2)^2-4 = t
ですので、tの取りうる値は -4 ≦ t です。


次に(2)式に移りますが、
t^2+kt+5 = 0 のままではちょっと扱いづらいので、
kを分離します。ここが肝その2です。

f(x) = 0 の解の個数は、y = f(x) とx軸がぶつかる回数ですね。
ところがf(x)の中にkが含まれていると、
kによりf(x)の形（上に凸か下に凸か/極値の正負）が変わり、
それぞれの形でどのようにx軸にぶつかるのか、場合分けが大変です。
しかも今回は定義域が実数全体ではなく、限られています（-4 ≦ t）。

一方、定数を分離して、g(x) = k の形にすると、
この式の解の個数は、y = g(x) と y = k (x軸に平行な直線)とがぶつかる回数になります。
一見さっきの形より複雑になっているのですが、
g(x)にkが含まれていなければ、g(x)の形は固定されますので、
y = k (x軸に平行な直線) とぶつかる回数を数えるための場合分けは容易です。

実際に解いてみます。

まず t = 0 のとき、(2)は 5 = 0 となり不適。
よって t ≠ 0 のもとで、
(2) ⇔ t^2+5 = -kt
　　⇔ -t - 5/t = k

ここで左辺をh(t)と置くと、
　h(t) = 0 ⇔ h = ±√5
　h(-4) = 11/4
　h'(t) = -1 - 5/t^2 < 0 (単調減少)
　lim(t→-∞)h(t) = ∞
　lim(t→-0)h(t) = -∞
　lim(t→+0)h(t) = ∞
　lim(t→∞)h(t) = -∞
より、y = h(t)のグラフ(省略)と、y = k の、-4 ≦ t の範囲での交点の数は、
（グラフも是非描いてみて下さい）

k < 11/4 のとき、2個、11/4 ≦ k のとき、1個
これが求める答えです。

もし極限や微分の扱いが未習であれば、(2)式のまま、
kの値によって2次関数のグラフを幾通りも描く事で同様の答えは出るかと思います。
場合分けは、
・頂点の正負
・頂点のt座標の値
・定義域の端点(t = -4)での(2)式の正負
の組合せになるでしょうか。

個人的にはkを分離して微分する方法をおすすめします。

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2010/11/25 01:15

方針として正しいと思います。

ｘ＾２＋４ｘ＝ｔ・・・（ａ）とおいて元の式を
ｔ＾２＋ｋｔ＋５＝０・・・（１）
というｔの二次方程式にしたとき、ｔの実数解がないとしたらｘ＾２＋４ｘが実数でないということなので、ｘも実数にはなりません。
　次に（１）が重解をもつ時、つまりｋ＾２＝２０のとき、ｘ＾２＋４ｘの値はただ一つに決まります。
　つづいて（１）が二つの実数解を持つ時、（１）の解はｔ＝（－ｋ±√（ｋ＾２－２０））／２なのでこれを（ａ）に代入してｘの二次方程式とし、解の判別をすればいいと思います。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/11/25 01:06

まず言われるように x^2+4x = t に関する 2次方程式と思って「2個の異なる実数解」「重解 (もちろん実数解)」「2個の虚数解」のいずれになるかを調べる.

2個の虚数解の場合はもともと実数解を持たないことがわかって終わり. 重解の場合も, 値がわかるのでそれを使ってしまえば OK.
2個の異なる実数解になる場合だけが問題で, 今度は x^2+4x-t = 0 という 2次方程式がどのような解を持つか考える.
というところ, かなぁ?