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1辺の長さがaの正三角形ABCの重心をGとする。△ABCの内部の点Pで、Pから△ABCの各辺におろした垂線の長さが、PとGの距離PGよりも短くないような点Pの存在範囲の面積Sを求めよ。

という問題で、一体何をヒントにどこからはじめればいいのか分かりません!
とても身勝手な質問であることは重々承知の上です。
どなたかご教授いただけないでしょうか。

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A 回答 (2件)

 xy平面においてAを原点、Bをx軸上に取ります。

するとBの座標は(a,0)、Gの座標は(a/2、a√3/6)になります。
 例えば点Pが△GABの内部にあるとき、Pから各辺に下ろした垂線のうち最も短いのはABに下ろした垂線です。正三角形の対称性から、点Pが△GABの内部にあるときを考えてその領域の面積を3倍すれば目的の面積が求められます。
 点Pの座標を(x、y)と置くと、ABに下ろした垂線の長さはyであり、PGの長さは√((x-a/2)^2+(y-a√3/6)^2)なので、
 y>=√((x-a/2)^2+(y-a√3/6)^2)
とおき、整理するとxの二次不等式(境界は放物線)になります。この放物線とAG、GBで囲まれた領域の面積を求めます。△GABは左右対称なので、左半分だけの面積を求めて2倍した方が計算が単純になります。こうして求めた面積を3倍したものが最終的に求める面積です。
 
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この回答へのお礼

分かりやすく解説していただいて助かりました!ありがとうございました!

お礼日時:2011/05/08 19:19

#1の回答で、どうせ正三角形の対称性を使うなら、3点をA(0、√3*a)、B(-a、0)、C(a、0)にとってやると話は極めて簡単になる。


P(α、β) β>0 とすると、重心G(0、√3*a/3)となる。

座標を使う時は、一般性を失わない限りにおいて、都合良くとってやると良い。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2011/05/08 19:20

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