自然数の５乗の値について

自然数を５乗した数の１の桁は元の数の１の桁と一致するのはなぜですか？？
数式的な証明をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2010/11/28 00:04

(10n+k)^5

で、k=0,1,2,・・・,9　の場合をすべて確認するという方法もありますが、別の方法を。

n^5-n
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
=n(n-1)(n+1){(n-2)(n+2)+5}
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)

(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)は５つ連続した整数だから、２の倍数でもあり５の倍数でもある。
5(n-1)n(n+1)も２の倍数かつ５の倍数。

両方とも１０の倍数なので、n^5-nは１０の倍数となり、n^5とnの１の桁は一致する。