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自然数を5乗した数の1の桁は元の数の1の桁と一致するのはなぜですか??
数式的な証明をお願いします。

A 回答 (1件)

(10n+k)^5


で、k=0,1,2,・・・,9 の場合をすべて確認するという方法もありますが、別の方法を。

n^5-n
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
=n(n-1)(n+1){(n-2)(n+2)+5}
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)

(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)は5つ連続した整数だから、2の倍数でもあり5の倍数でもある。
5(n-1)n(n+1)も2の倍数かつ5の倍数。

両方とも10の倍数なので、n^5-nは10の倍数となり、n^5とnの1の桁は一致する。
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