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位数36巡回群の生成元

解決済

  • 質問者：smileshower
  • 質問日時：
  • 回答数：7件

位数36の巡回群 Z/36Z＝{0,1,・・・,35} の生成元となりうる元を列挙せよ。

わかりません。。よろしくお願いします！！

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A 回答 (7件)

No.6ベストアンサー

  • 回答者： OurSQL
  • 回答日時：

済みません。

さすがに、

>>|Z/36Z|=<1,5,7,11,13,17,23,25,29,31,35>

はおかしいけれど、

Z／36Z = < 1, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 25, 29, 31, 35 >

であれば、一応は正しいですね。

ただ、本当に書きたかった式は、

Z／36Z = < 1 > = < 5 > = < 7 > = ・・・ = < 17 > = < 19 > = < 23 > = ・・・ = < 35 >

なのではないでしょうか。

あと、質問者様は Z／36Z を乗法群だと勘違いしてはいませんよね。

( Z／36Z )* は乗法群ですが、Z／36Z は加法群です。
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No.7

  • 回答者： info22_
  • 回答日時：

#4です。



#1さん、A#5,A#6の指摘どおりで、凡みすでした。
指摘ありがとう。
＃ミスをそのまま放置するところでした。

A#4の以下のところは訂正して下さい。

>∴i=1,5,7,11,13,17,23,5*5=25,29,31,5*7=35
∴i=1,5,7,11,13,17,19,23,5*5=25,29,31,5*7=35
(転記ミスでした。)


>∴|Z/36Z|=<1,5,7,11,13,17,23,25,29,31,35>
∴Z/36Z=<1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35>

うっかりミスでした。

失礼しました。

参考URL
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/020 …

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/巡回群
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No.5

  • 回答者： OurSQL
  • 回答日時：

>>∴|Z/36Z|=<1,5,7,11,13,17,23,25,29,31,35>



左辺の表記がおかしい。

右辺も、19 が忘れられている。
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No.4

  • 回答者： info22_
  • 回答日時：

Z/36Z＝{0,1,・・・,35}


　
|Z/36Z|=36=2^2*3^2
　
Z/36Zの位数36と互いに素な元および1が生成元となるので
36=2^2*3^2と互いに素な元をリストアップすればよい。
つまり、35とZ/36Zの元iのうち、共通因数が1となる元を拾い出せばよい。
（i,36)=1(i=0,1,2, …35)を満たす全てのiを求めればよい。
∴i=1,5,7,11,13,17,23,5*5=25,29,31,5*7=35

∴|Z/36Z|=<1,5,7,11,13,17,23,25,29,31,35>

参考URL：http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/020 …
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No.3

  • 回答者： OurSQL
  • 回答日時：

ちなみに、巡回群 Z／36Z の生成元は 12 個あるようですので、



5 ^ 12 ≡ 1 ( mod 36 )

が成り立ちます。

ただ、群 ( Z／36Z )* において、5 の位数 は 6 なので、

5 ^ 6 ≡ 1 ( mod 36 )

も成り立ち、

5 ^ n ≡ 1 ( mod 36 )

を満たす最小の自然数が 12 というわけではありません。

生成元は他にもあるので、電卓を使って、いろいろ調べてみるのがお勧めです。
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No.2

  • 回答者： koko_u_u
  • 回答日時：

各元の位数を順に求めて補足にどうぞ。

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No.1

  • 回答者： OurSQL
  • 回答日時：

( Z/36Z )* は乗法群になりますが、その元をすべて書けば、それがそのまま答えになります。


巡回群 Z/36Z の生成元となり得るのは、位数が 36 の元だけです。
( 5, 36 ) = 1 なので、5 は生成元の一例です。
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それらのうちで (0, 0) を元に持つものは、元の個数が 1 である部分集合と実質的に変わらないので、生成系になれません。
(0, 0) を元に持たなければ、生成系になっていることを確認してみます。

A = { (0, 1), (1, 1) } が生成系であるなら、M の任意の元は (0, 1) と (1, 1) の線形結...続きを読む

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えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

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逆要素は、ｃ＾（－１）だね。　ｃ×（１／ｃ）＝１　単位要素に帰るわけだから。

　＃０をどけたのは、これができないから。

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えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな？

この問題では二つの同値　～　と　⇔　がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体（０を除く）　（以下、Ｒ０　と書くことにしますね）と

演算子掛け算　×　を持ってくると、群の定義は？

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

Ｒ０の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません...続きを読む

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Wikipediaの巡回群の項目に

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<a,b>^1=<a,b>
<a,b>^2=<a^2,b^2>
<a,b>^3=<e,b^3>
<a,b>^4=<a,e>
<a,b>^5=<a^2,b>
<a,b>^6=<e,b^2>
<a,b>^7=<a,b^3>
<a,b>^8=<a^2,e>
<a,b>^9=<e,b>
<a,b>^10=<a,b^2>
<a,b>^11=<a^2,b^3>

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Aベストアンサー

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Q逆元の計算方法

逆元を計算するのにユークリッドの互除法というのでできると聞きました。
でも、ユークリッドの互除法っていうのは最大公約数を求めるのに使うのですよね？どうやって逆元を求めるんですか？たとえば、13を法としたとき5の逆元はどうやって求めるのですか？

Aベストアンサー

ここで言う逆元とは、おそらく「乗法の」逆元のことですね？
ご質問で出された例で言えば、
5y ≡ 1(mod 13)となるyを求めよ、という意味だと思います。
この場合なら逆元は8で、
5×8 = 40 = 13×3 + 1 ≡ 1(mod 13)となっています。
すなわち、13p + 5q = 1となる整数p,qを
一組求めれば、そこから逆元は求まります。

いま、便宜的に「13×● + 5×▲」の形を
「基準形」と呼ぶことにします。
目標は「『1』を基準形に書き直す」ことになりますね。

これを行なうにあたってEuclid互除法がどのように役立つのか？
まず13と5に対し互除法を実行してみます。
13 ÷ 5 = 2 余り 3
5 ÷ 3 = 1 余り 2
3 ÷ 2 = 1 余り 1
というふうに、13と5は互いに素ですから、
「余りが1になる」まで行き着きます。

さて、上の式たちを「余り = ……」の形に書き換えると
(a) 3 = 13 - 5×2
(b) 2 = 5 - 3×1
(c) 1 = 3 - 2×1
となります。(a)を見ると、
「『3』が基準形に書き直されたもの」
と見ることができます。
すると、これを(b)に代入すれば
(b')2 = 5 - (13 - 5×2)×1 = 13×(-1) + 5×3
と、『2』も基準形に書き直されました。
さらに(a)と(b')を(c)に代入すれば
1 = (13 - 5×2) - [13×(-1) + 5×3]×1
= 13×2 + 5×(-5)
と、ついに『1』が基準形で表されたことになります。

以上より、5×(-5) ≡ 1(mod 13)
したがって「y = -5 + 13n」の形をしたものはすべて
5y ≡ 1(mod 13) を満たします。
n = 1とすれば逆元8が求まります。

もう1つだけ例題をやってみましょう。
「31を法とする12の乗法の逆元は？」
▼印は基準形で書かれた箇所です。
(解)互除法にて
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12 = 7×1　+ 5
7 = 5×1 + 2
5 = 2×2 + 1
すなわち
(a)7 = 31 - 12×2▼
(b)5 = 12 - 7×1
(c)2 = 7 - 5×1
(d)1 = 5 - 2×2
(a)を(b)に代入して
(b')5 = 12 - (31 - 12×2) = 31×(-1) + 12×3▼
(a)(b')を(c)に代入して
(c')2 = (31 - 12×2) - [31×(-1) + 12×3]×1 = 31×2 + 12×(-5)▼
(b')(c')を(d)に代入して
1 = [31×(-1) + 12×3] - [31×2 + 12×(-5)]×2 = 31×(-5) + 12×13▼
したがって12×13 ≡ 1(mod 31)すなわち逆元は13となります。

参考URL：http://www.nara-edu.ac.jp/~asait/c_program/sample/euclid.htm

ここで言う逆元とは、おそらく「乗法の」逆元のことですね？
ご質問で出された例で言えば、
5y ≡ 1(mod 13)となるyを求めよ、という意味だと思います。
この場合なら逆元は8で、
5×8 = 40 = 13×3 + 1 ≡ 1(mod 13)となっています。
すなわち、13p + 5q = 1となる整数p,qを
一組求めれば、そこから逆元は求まります。

いま、便宜的に「13×● + 5×▲」の形を
「基準形」と呼ぶことにします。
目標は「『1』を基準形に書き直す」ことになりますね。

これを行なうにあたってEuclid互除法がどのように役立つ...続きを読む

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Qクーン・タッカー条件

目的関数　3(1-e^(-2x))+4(1-e^(-y))　→　Max
制約条件　x+y ≦　10
x , y ≧　0
に対するクーン・タッカー条件を求めてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

目的関数を偏微分したものと、制約条件式を偏微分したものに
ラグランジュ乗数をかけて足し合わせ、それを０とすれば
Karush-Kuhn-Tucker条件になると思います。

最大、最小、不等号の向きに注意して導いてみると…
f(x,y)=-[3(1-e^(-2x))+4(1-e^(-y))]
g1(x,y)=x+y-10
g2(x,y)=-x≦0
g3(x,y)=-y≦0
と置くと、

∇f(x,y) = [-6e^(-2x), -4e^(-y)]T
∇g1(x,y) = [1, 1]T
∇g2(x,y) = [-1, 0]T
∇g3(x,y) = [0, -1]T

（ただしTは転置記号）
ラグランジュ乗数をλ1、λ2、λ3として、

[-6e^(-2x), -4e^(-y)]T + [λ1, λ1]T + [-λ2, 0]T + [0, -λ3]T
= [0, 0]T

ある局所最適解[x*, y*]Tについて上式を満たすλi(i=1,2,3)が存在する
というのがご所望のKarush-Kuhn-Tucker条件です。

＃計算に自信無いのでチェックして下さいね

ちなみにKarush-Kuhn-Tuckerは経済学だけに出てくるものではなく、
基本的に数理計画法の分野のものです。その応用は多岐に渡ります。

＃例えば航空機や宇宙往還機の最適軌道計算など

目的関数を偏微分したものと、制約条件式を偏微分したものに
ラグランジュ乗数をかけて足し合わせ、それを０とすれば
Karush-Kuhn-Tucker条件になると思います。

最大、最小、不等号の向きに注意して導いてみると…
f(x,y)=-[3(1-e^(-2x))+4(1-e^(-y))]
g1(x,y)=x+y-10
g2(x,y)=-x≦0
g3(x,y)=-y≦0
と置くと、

∇f(x,y) = [-6e^(-2x), -4e^(-y)]T
∇g1(x,y) = [1, 1]T
∇g2(x,y) = [-1, 0]T
∇g3(x,y) = [0, -1]T

（ただしTは転置記号）
ラグランジュ乗数をλ1、λ2、λ3として、

[-6e^(-2x), -4e^(...続きを読む

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「位数が素数である群は真部分群を持たない巡回群であることを証明せよ。」
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Q巡回群の生成元について

お世話になります。よろしくお願いします。

「加法群Z、整数n≧0の時
商群Z/nZは、1を含む剰余類によって生成される位数ｎの有限巡回群である。（代数系入門　松坂和夫著　p.78）」
とあるのですが、

商群Z/nZの1を含む剰余類は｛1,1±n,1±2n,・・・｝、
2を含む剰余類は｛2,2±n,2±2n,・・・｝であり、

1を含む剰余類｛1,1±n,1±2n,・・・｝を
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にはならないと思うので、
全ての元が生成元aの整数ｋ倍で表される（加法の場合）という巡回群の定義に合わず、
「商群Z/nZは、1を含む剰余類によって生成される」というのがおかしいとおもうのですが、どうでしょうか？

どなたか私の考えの間違いをご指摘ください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>「1を含む任意の部分集合Sによって生成される」
>に書き換えましても意味が通るような気がするのですが。

「1で生成される」集合が「1を含む任意の集合で生成される」のは
当たり前です．

・「1個でいいよ」っていわれてるのに，余計なものを含めて100個提示する
・1+1の答えは？と聞かれて「整数の中にある」

こんな風にいってるのとほとんど同じだということが分かりますか？
生成元の個数はできるだけ小さくしないと無意味です．
＃任意の環の生成元の集合は自分自身・・
＃生成元の集合の定義には合致しますが無意味です．
＃こういうのを「自明な例」といいます．
＃＃もっとも「自明な例」は該当するものが
＃＃なにはともあれ存在することを示すのには有効

そして，わざわざ「大きなもの」を設定しておいて
>そのように言い換えまして、
>1を含む任意の部分集合Sの元である1を生成元として
と，また「1」をひっぱり出しているのはなぜです？

論理的には間違いではないですけども
1を含む部分集合なるものをつくって，その部分集合からまた1を取り出してそれだけを使うなら，わざわざ広げなくていいでしょう．

それと・・・やっぱり剰余類の定義が分かってないようです．

>例えば2を含む剰余類｛2,2±n,2±2n,・・・｝の元は
>それぞれk＝2,2±n,2±2n・・・として全て
>k×(生成元１)で表せる。

違います．Z/nZの生成元1とは，
{1,1±n,1±2n,・・・}
であり，これを普通は[1]とか書きます．
そして剰余類｛2,2±n,2±2n,・・・｝は[2]と書きます．
このとき，
[2] = [1] + [1] です．
また，これを [2] = 2 * [1] と書きます．
決して，その意味でk=2であって，kを複数個とるのではありません．

>こちらの方も未解決でして、お時間がありましたらよろしくお願いします。
未解決も何も・・・あっちのNo.1さんの回答ですべてです．

>「1を含む任意の部分集合Sによって生成される」
>に書き換えましても意味が通るような気がするのですが。

「1で生成される」集合が「1を含む任意の集合で生成される」のは
当たり前です．

・「1個でいいよ」っていわれてるのに，余計なものを含めて100個提示する
・1+1の答えは？と聞かれて「整数の中にある」

こんな風にいってるのとほとんど同じだということが分かりますか？
生成元の個数はできるだけ小さくしないと無意味です．
＃任意の環の生成元の集合は自分自身・・
＃生成元の集合の定義...続きを読む

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Q法(mod)の四則演算について

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・整数は素数を法とする演算では、四則演算が実行できる。その例を示せ。
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この２つの問題が分かりません。
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以下、剰余算の計算式を「13 mod 7 = 6」(13÷7の余りが6という意味)のように表します。suryaさんの読みやすいように適宜読み替えて下さい。

・法が素数の場合
2つの整数(5, 13)を7で割ったときの剰余の四則演算の例を以下に示します。

1. 加算
13 mod 7 = 6, 5 mod 7 = 5なので、(13 mod 7) + (5 mod 7) = 11 mod 7 = 4 … (1)
また、(13 + 5) mod 7 = 18 mod 7 = 4 … (2)
(1)と(2)は同じ値になるので、(13 mod 7) + (5 mod 7) = (13 + 5) mod 7

2. 減算
13 mod 7 = 6, 5 mod 7 = 5なので、(13 mod 7) - (5 mod 7) = 1 mod 7 = 1 … (1)
また、(13 - 5) mod 7 = 8 mod 7 = 1 … (2)
(1)と(2)は同じ値になるので、(13 mod 7) - (5 mod 7) = (13 - 5) mod 7

3. 乗算
13 mod 7 = 6, 5 mod 7 = 5なので、(13 mod 7) × (5 mod 7) = 30 mod 7 = 2 … (1)
また、(13 × 5) mod 7 = 65 mod 7 = 2 … (2)
(1)と(2)は同じ値になるので、(13 mod 7) × (5 mod 7) = (13 × 5) mod 7

4. 除算
剰余の除算は整数や実数といった一般的な数値の除算と異なるので注意して下さい。
剰余での除算は「逆数を掛ける」ことで定義されます。「aをbで割る」はa×b^-1で表されます。

(3 mod 7) × (5 mod 7) = 1なので、(5 mod 7)^-1 = (3 mod 7)
また、3.乗算の結果から、(13 × 5^-1) mod 7 = (13 mod 7) × (5 mod 7)^-1が言える。これを計算すると、
(13 × 5^-1) mod 7 = (13 mod 7) × (5 mod 7)^-1 = (13 mod 7) × (3 mod 7) = 4


・法が合成数の場合
良い例かどうかは分かりませんが…。
法が8のときの除算を例に挙げてみます。

例えば、(5 mod 8) × (3 mod 8)^-1は(3 mod 8) × (3 mod 8) = 1だから、
(5 mod 8) × (3 mod 8)^-1 = (5 mod 8) × (3 mod 8) = 7のように計算できます。
しかし、(5 mod 8) × (4 mod 8)^-1は、4 mod 8の逆数を求めることができないため計算できません。

以下、剰余算の計算式を「13 mod 7 = 6」(13÷7の余りが6という意味)のように表します。suryaさんの読みやすいように適宜読み替えて下さい。

・法が素数の場合
2つの整数(5, 13)を7で割ったときの剰余の四則演算の例を以下に示します。

1. 加算
13 mod 7 = 6, 5 mod 7 = 5なので、(13 mod 7) + (5 mod 7) = 11 mod 7 = 4 … (1)
また、(13 + 5) mod 7 = 18 mod 7 = 4 … (2)
(1)と(2)は同じ値になるので、(13 mod 7) + (5 mod 7) = (13 + 5) mod 7

2. 減算
13 mod 7 = 6, 5 mod 7 = 5なので、(13 mod 7...続きを読む

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Q位数６の群を分類したいです。

Ｇを位数が６の群とする
Ｇ≅Ｚ/6Ｚ　or S3　のどちらかに同型になることを示したいのですが、
シローの定理からＰ３：３－Sylow部分群　ｓ３：Ｐ３の個数　Ｐ２：２－Sylow部分群　ｓ２：Ｐ２の個数
とすると、シローの定理からｓ３＝1、ｓ２＝1,3となり、
（1）ｓ２＝１の時は、Ｇ≅Ｚ/2Ｚ×Ｚ/3Z≅Ｚ/6Ｚ
ということは分かったのですが、
（２）s2=3の時はＧ≅Ｓ３になると思うのですが、これをどう示したらよいかが分かりません。
教えていただけませんですか？

Aベストアンサー

シローの定理より
2シロー群{e,a}が存在
3シロー群{e,b,b^2}が存在．3シロー群はひとつしかない．

そこで ab の位数 o(ab) を考える

o(ab)=1,2,3,6である

o(ab)=1ならば ab=e，b=a^{-1}=aで不適

o(ab)=6ならば 位数6の群Gに位数6の要素があるので
Gは巡回群Z/6Z

o(ab)=2ならば abab=e つまり aba=b^{-1}
つまり Gはa^2=e, b^3=e aba=b^{-1}で生成される群でありこれは
三次二面体群D_3すなわち3次対称群S_3

o(ab)=3ならば
abが生成する巡回群<ab>は3シロー群
3シロー群はひとつしかないので
ab=e,b,b^2
ab=eは不適
ab=bも不適
ab=b^2も不適
よってo(ab)は3とはならない

以上より
位数6の有限群は
巡回群か3次の対称群

実際はもっと強いことがいえて
素数p，qに対して
位数pqの群が決定できます
シローの定理と自己同型の組合せ
♯ぐぐると力作のPDFがすぐ見つかります

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