歯ブラシ選びの大事なポイントとは?

三角形の相似の問題が苦手でわかりません。
月曜までのレポート課題のラスト1枚がこれです。
教えていただけませんか?

「中3三角形の相似」の質問画像

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A 回答 (6件)

(1) AB=10cm、AE:EB=3:2 なので AE=6cm、EB=4cm


  ∴ △AEC:△ABC=3:5          ・・・・・・(A)
 △AECに 三角形の角の二等分線と比の定理を適用して ∠AEF=∠CAF だから
   EF:FC=AE:AC=3:4
  ∴ △AEF:△AEC=3:7    ・・・・・・・・・・・・(B)
 (A)(B)から △AEF:△ABC=(3*3):(5*7)=9:35


(2) △BACに 三角形の角の二等分線と比の定理を適用して ∠ABD=∠CBD だから
   AD:CD=AB:CB=2:3
  ∴△ABD:△ABC=2:5    ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(C)
 △ABPと△EBPで BP共通、∠APB=∠EPB=90°、∠ABP=∠EBP
 1つの辺をその両端の角がそれぞれ等しいので △ABP≡△EBP   ・・・・・(D)
 従って、合同な図形の対応する辺の長さは等しいので BE=AE=2 (cm)
  ∴EC=BC-BE=1 (cm)
  ∴△ABE:△ABC=2:3     ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(E)
 (D)より △ABP≡△EBP なので △ABP=△EBP
  ∴△ABP:△ABE=1:2      ・・・・・・・・・・・・・・・・・・(F)
 (E)(F)から △ABP:△ABC=1:3  ・・・・・・・・・・・・・・・・・(G)
 (C)(G)から △ADP=△ABD-△ABP =(2/5-1/3)△ABC =(1/15)△ABC
  ∴BP:PD=△ABP:△ADP=(1/3):(1/15)=5:1


(3) 点Gは△ABCの重心なので、AG:AD=2:3
 また、EF∥BC なので AE:AB=AF:AC=2:3
 △AEFと△ABCは 3組の辺の比がすべて等しいので △AEF∽△ABC で相似比は 2:3
 (△AEF∽△ABCの証明は、他の2つの相似条件「2組の角がそれぞれ等しい」「2組の辺の比が等しくそのはさむ角が等しい」でも示すことができます。)
 ∴ △AEF:△ABC=2^2:3^2=4:9
 GD:AG=1:2 なので、△DEF:△AEF=1:2
 ∴△DEF=(1/2)*(4/9)△ABC =8 (cm^2)

 また BE:AE=1:3 なので △EBC=(1/3)△ABC =12 (cm^2)


 添付図が不明瞭なところがありますので、数字や記号などの読み取りミスがありましたら ご容赦ください。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時:2010/11/28 10:33

1問目



三角形ABCの面積を1として、面積はこれに対する比率で記述します。

三角形AECの面積はAE:AB=3:5より3/5です。

また線ADは∠Aの二等分線の為、Fから線AC、AEに垂線を下ろすと長さは等しくなります。すなわち三角形AFCとAFEは高さが同じということです。従って面積比は底辺の比より4:3となります。

従って三角形AECとAEFの面積比は7:3です。

以上から三角形AEFの面積をXと置くと

3/5 : X = 7 : 3

X=9/35

です。

従って答えは 9/35 : 1

         = 9 : 35


2問目

三角形ABCの面積を1として、面積はこれに対する比率で記述します。

線BDは∠Bを二等分しているので、Dから線AB、BCに下ろした垂線の長さは等しくなります。すなわち、三角形ABDとBCDは高さが同じということです。従って面積比は底辺の比2:3です。

従って三角形ABDの面積は2/5です。

また、三角形ABFとBEFは、点Fで同じ角度(90°)、点Bでも同じ角度、かつ線BFを共有するので合同です。従って線BEの長さは2cmです。BE:BC=2:3より三角形ABEの面積は2/3です。三角形ABFとBEFは合同(=同じ面積)のため、三角形ABFの面積は2/3 ÷2= 1/3 です。

従って三角形AFDの面積はABD-ABF=2/5-1/3=1/15です。

従って三角形ABFとAFDの面積比は1/3 : 1/15 = 5 : 1 です。これらの三角形は頂点をAとすると同じ高さなので、底辺の比はBF:FD=5:1です。

これが求める答えとなります。


3問目

重心は中線を2:1で分割し、またEFとBCは平行なので、三角形AEFの面積は30×底辺2/3×高さ2/3=40/3cm2です。従って台形EBCFの面積は30-40/3=50/3cm2です。

重心は中線を2:1し、底辺の長さも比例するので、線EFとBCの比は2:3です。従って、三角形EBD+FDC+DEFの面積は台形EBCF、また三つの三角形は同じ高さであることから、三角形DEFの面積と、三角形EBD+FDCの面積の比は線EFとBCの比と同じ2:3となります。従って三角形DEFの面積は台形EBCFの2/5となります。

従って三角形DEFの面積は50/3 × 2/5 = 100/15 = 20/3cm2となります。(一つ目の答えです)。

上記の通り線EFとBCの比は2:3、EFとBCは平行なので、三角形EBCの面積は台形EBCFの3/5となります。

従って三角形EBCの面積は50/3 × 3/5 = 150/15 = 10cm2となります。(ニつ目の答えです)。

以上です。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時:2010/11/28 11:03

2問目は、



△ABPと△EBPは合同なので、BE=2、EC=1で
△ABE:△ACE=2:1

BDは∠Bの二等分線なので、点Dは辺ACの2:3の内分点で、
△AED:△CED=2:3

よって、
BP:PD=△ABE:△AED=2:2/5=5:1
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三問目。


 Gは重心なのでAG:GD=2:1です。また△AEFと△ABCは相似でその面積比は4/9:1になります(辺の長さの比が2/3:1なので)。従って
△ABC:△AEF:△DEF=1:4/9:4/9*1/2
              =9:4:2
になります。
 また、AB:AE*=1:2/3であり、BD=DCなので
△ABC:△ABD:△EBC=2:1:1/3
になります。
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とりあえず一問目。


AE=AC=6cm なので△AECは二等辺三角形です。また、三角形AEFとACFは合同なのでEF=FCです。従って△AEFの面積は△AECの半分です。
 また、△AECの面積はは△ABCの3/5ですから、△AEFの面積は△ABCの0.5*3/5=3/10です。
 
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もっと拡大してくれれば解るのですが…

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