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大学での問題がわかりません。
R2を2次列ベクトルのなすベクトル空間、R3を3次行ベクトルのなすベクトル空間とし、R23を2×3行列のなすベクトル空間とする。
{a1,a2}をR2の基底、
{b1,b2,b3}をR3の基底とすると、
{a1b1,a1b2,a1b3,a2b1,a2b2,a2b3}はR23の基底となることを証明せよ。
よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

はいはいa1b1の意味が分かった。


ヒント:
     a1(s1b1+t1b2+u1b3)+a2(s2b1+t2b2+u2b3)=0
ならば{a1,a2}をR2の基底、
{b1,b2,b3}をR3の基底を用いてs1=t1=u1=s2=t2=u2=0を示す。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。参考になりました。

お礼日時:2010/11/29 13:25

a1b1ってどう計算するんですか?

この回答への補足

1,2,3の数字は下付き数字ですが、小さくできないのでそのまま書いてしまいました。文字に番号を振っているだけです。分かりにくくてすみません。

補足日時:2010/11/28 16:28
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Q基底であることを示す問題

こんにちは。

K^3において、ベクトルの組(1,2,0)、(1,0,1)、(1,2、-1)が基底であることを示したいのですが、どのように示せばよいかわかりません。

基底の定義:
ベクトル空間Vのベクトルの組x1、x2、・・、xrがVの基底であるとは、次の2条件を満たすことである。
(BS1)V=<x1、x2、・・、xr>である。
(BS2)x1、x2、・・、xrは線形独立である。

定義にそのままあてはめればよいだけだとは思うのですが、実際何をすればよいのかがわかりません。

回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

K^3の3つのベクトルの組があるので、その線形独立を言えば十分である。
すなわち a・(1,2,0)+b・(1,0,1)+c・(1,2,-1) = 0 ⇒ a = b = c = 0 を言えばよい。
あとは, a・(1,2,0)+b・(1,0,1)+c・(1,2,-1) = (a+b+c,2a+2c,b-c) = 0 を解けばよい。 連立方程式を解いて a = b = c = 0 が求められる。

Q基底の定義について

基底の定義について

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E5%9F%BA%E5%BA%95%E3%81%A8%E6%AC%A1%E5%85%83
(基底の定義)

基底の定義に、「(1)と(2)を満たすとき~基底であるという」とありますが、(2)は必要なのでしょうか?
e1,…,enが線形独立ならば、任意のVの元は必ず、e1,…,enの線形結合で表されるのではないでしょうか?
同じ理由により、次元が「線形独立なベクトルの数」ではなくて、「基底の個数」である理由も疑問です。

線形独立の定義(自明解0のみ)の確認だけでは、それが基底であるとは言えないということなのでしょうが、何故でしょうか・・・?

以前から、この線形独立と基底の差異が頭の中ですっきりしないので、よろしくお願いします。反例などがありましたら、教えてください。

Aベストアンサー

私自身もこの辺りは少しあいまいなのですが、
つまりこういうことではないでしょうか?


3次元のベクトル空間Vにおいて、
e1=(0,0,1),e2=(0,1,0)の時、
この2つは線形独立であるが、
この2つのみではV任意の元を表すことができない。
したがって、e1,e2はVの基底ではない。

こういうのを考える時、よく線形従属になるパターン(次元<基底の数)を想定しますが、
基底の数が次元に足らない時というのもあると思います。

以上、参考になれば幸いです。

Q表現行列の求め方

行列
1 2 -1 4
0 1 2 3
2 3 -4 5
に対応する線形写像f:R4→R3について
R4の標準基底{e1,e2,e3,e4},R3の基底{(1 1 2),(3 5 4),(1 1 1)}に関するfの表現行列
はどうやって求めたらいいのでしょうか。
試験が近いのですがこのあたりがよく分からなくて詰まっています。
よろしければ回答お願いします。

Aベストアンサー

質問冒頭の行列が、R4, R3 各標準基底上の
f の表現行列です。これを F と名付けましょう。
所与の R3 の基底を列ベクトルとして並べた
行列を P と置くと、求める行列は、
行列積 (Pの逆行列)F で表されます。
R4 の側も別に基底を指定するようなら、
その基底を列ベクトルとして並べた
行列を Q と置いて、求める行列は、
(Pの逆行列)FQ です。
今回は、Q が単位行列ですね。


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