数検10級の「とんまな泥棒」という問題が解けません

りんごをx個盗んだA君が途中で番人に見つかって、1/2より２個多く没収されました。
その後、さらに別の番人に見つかって残りの1/2より２個多く没収されました。
さらにもういっちょ別の番人に見つかってやはり残りの1/2より２個多く没収されました。
結果、A君の手元には１個しか残りませんでした。

最初のxはいくつだったでしょうか？

という問題なのですが、xを使って式を作ると答えが間違ってしまいます。
x-1 = (1/2*x+2)+(1/4*x+2)+(1/8*x+2) を解けばいいのかと思ったのですが
これだと答えが56になってしまい、間違ってしまいます。

どのように式を立てればいいのでしょうか？
それとできれば解説もお願いします。
よろしくお願いいたします。

No.4 ベストアンサー 回答者： rukuku 回答日時： 2010/11/29 18:56

こんばんは

もっとスマートに解いていく方法もあると思いますが、「これで答えが出る」という回答です。
なお、文字の都合上、最初に盗んだ数をａとします。

ｂ＝途中で番人に見つかって…の残り
ｃ＝さらに別の番人に見つかって…の残り
ｄ＝さらにもういっちょ別の番人に見つかって…の残り
としますと
ｂ＝ａ－（１／２ａ＋２）
ｃ＝ｂ－（１／２ｂ＋２）
ｄ＝ｃ－（１／２ｃ＋２）
ｄ＝１
となります。
連立方程式に見えますが、下から順に解いていくと解けます。

そうしますと
ｃ＝６
ｂ＝１６
ａ＝３６
となります。

No.6 回答者： rukuku 回答日時： 2010/11/29 19:25

＞答えは36で正解なのですが、私の立てた単純な式のどこが勘違いしてるのか

＞教えていただけないでしょうか？

最初に盗んだ数をxとしますと、
最初の門番に没収される数は
１／２ｘ＋２
になります。ここまでの考え方は合っています。

しかし、次の門番に没収される数は
(1/4*x+2)ではなく
１／２｛ｘ－（１／２ｘ＋２）｝＋２
なります。
従って
１／４ｘ＋１
になります。

この時点で、数式が違ってきているのですが、
更に次の門番に没収される数となると、もっと複雑な式になります。

私のＮｏ．４の回答や他の方の回答のように、下から順に解いていくのが簡単だと思います。
また、どうしても、ａ＝…の式で解きたいならば、
ｂ＝ａ－（１／２ａ＋２）
ｃ＝ｂ－（１／２ｂ＋２）
ｄ＝ｃ－（１／２ｃ＋２）
ｄ＝１
をａ＝の式にまとめればできます。

No.5 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/11/29 18:56

　答えを早く求めるのでしたら、結果から逆算していった方が早いです。

　もしxの方程式で求めるのでしたら、次のように立てます。

1) 最初の番人で没収された後の残った個数：　x/2-2 (個)
2) 2番目の番人で没収された後の残った個数：(x/2-2)/2-2 (個)
3) 3番目の番人で没収された後の残った個数：{(x/2-2)/2-2}/2-2 = 1 (個)

　これで方程式ができましたので、移項と両辺を２倍することを繰り返すか、分配法則を使って後でまとめて移項と両辺を８倍すれば　x=36 (個)と求められます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
この後のまとめ方を書いていただけるとさらにありがたかったのですが・・・
それは贅沢というものですね。

お礼日時：2010/11/29 19:31

No.3 回答者： Quattro99 回答日時： 2010/11/29 18:55

文章のまま立式すると、とてもややこしくなるので、残った1からさかのぼってみます。

最後：1個
3人目の門番にとられる前：(1+2)*2=6（個）
2人目の門番にとられる前：(6+2)*2=16（個）
1人目の門番にとられる前：(16+2)*2=36（個）
つまり、x=36（個）です。

> x-1 = (1/2*x+2)+(1/4*x+2)+(1/8*x+2)
これは、門番たちが没収した個数で等式を立てたのだと思います。
最初の門番が没収した個数は(1/2*x+2)ですが、次の門番が没収した個数は(1/4*x+2)ではありません。「最初の門番に没収された後に残ったりんご」の1/2より2個多いのですが、「最初の門番に没収された後に残ったりんごの1/2」は(1/2)*(1/2)*xではありません。「最初の門番に没収された後に残ったりんご」が(1/2)*xではないからです。よく考えればここがとてもややこしくなることがわかると思います。2人目くらいまではなんとかやれますが、3人目までこの方法でやろうとするととんでもなく面倒なことになります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
自分でも考えていて、(1/2)*(1/2)*x ではないことに気づきました。
これが間違いの原因ですね。

なまじ方程式にしようとしたのがバカだったということに気づきました。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/11/29 19:27

No.2 回答者： noname#139892 回答日時： 2010/11/29 18:43

後ろから順に考えていきましょう。

３人目の番人は、1/2より２個多く没収した結果、１個になったのだから、番人に会う前に持っていた数をaとして、
1/2*a-2=1
a=6
２人目の番人が、1/2より２個多く没収した結果、６個になったのだから、番人に会う前に持っていた数をｂとして、
1/2*b-2=6
b=16
３人目の番人が、1/2より２個多く没収した結果、16個になったのだから、番人に会う前に持っていた数をxとして、
1/2*x-2=6
x=36

No.1 回答者： fine_day 回答日時： 2010/11/29 18:40

A君が最後の番人に見つかったときに持っていたりんごは、（最後に残った１個＋多く取られた２個）×２＝６個です。

念のため計算すると、６個の1/2である３個よりさらに２個多く取られた、つまり５個取られたので１個残ったと確認できます。

それぞれの番人に会った後に残った個数に２個を足して２倍すると、番人に会う前の個数になります。番人は３人ですから３回繰り返して
　x=[{(1+2)*2+2}*2+2]*2=36

答えは36個ではないでしょうか。
A君の持っていた個数の変遷は、36個→16個→6個→1個です。

この回答への補足

はい。答えは36で正解なのですが、私の立てた単純な式のどこが勘違いしてるのか
教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

補足日時：2010/11/29 18:45