No.3ベストアンサー
- 回答日時:
ANo.1です。
たびたびすみません。はめこみと埋め込みを混同していました。fが1対1写像と限らないのですね。fをSからRへの可微分写像とします。
fが連続で、Sがコンパクトですから、f(S)はコンパクトです。したがって、f(S)には最大値aが存在します。bをf(b)=aなる点とすると、fの微分は、bで0になります。したがって、fは、はめ込みではありえません。
No.2
- 回答日時:
ANo.1です。
失礼しました。問題をよく読んでいませんでした。SからRの部分集合への位相同型が存在しないことを言えば十分です。fをSからRへの連続写像とします。Sがコンパクトかつ連結ですから、f(S)はRのコンパクト連結部分集合(=閉区間)です。aをf(S)の内点(境界以外の点)とするとき、f(S)-{a}は2つの連結成分に分かれます。一方、Sからどの一点を除いても連結集合のままですから、fは、位相同型になりえません。
No.1
- 回答日時:
SからRへの位相同型が存在しないことを示せば十分です。
Rから1点を取り除くと、2つの連結成分に分かれます。一方、Sからどの1点を除いても連結のままです。
このことと、連結性が位相同型によって不変であることを使えば、証明できます。
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