三角関数の合成の方程式

【0≦ｘ＜2πのとき、sinx+cosx=1/√2を解け。】という問題です。

合成して、　　　 sinx+cosx=√2sin(x+π/4)、
方程式は √2sin(x+π/4)=1/√2
　　　　　　　sin(x+π/4)=1/2
　
0≦ｘ＜2πから、π/4≦x+π/4＜9/4π

…教科書を見ながら解いて、ここまでは理解できたのですが、
この先どうやってｘの値を出せばいいのか分かりません。

分かりやすく教えて下さい。宜しくお願いします！

No.4 ベストアンサー 回答者： yasoukyoku415 回答日時： 2010/12/03 22:15

ここまでくれば後すこしです☆

ｘ+（π/4）＝θと置きましょう

すると、
sinθ＝1/2

これを満たすシータは？？
π/6、5π/6ですね☆

これを元にｘを計算すればOKです。
θ＝π/6の時
ｘ+（π/4）＝π/6
ｘ＝（π/6）-（π/4）＝-π/12
0≦ｘ＜2πよりこの解は不適...と思いきや
-π/12は23π/12と同じなので※23π/12の方を採用☆
※２π足す（一周しても同じ角度だから）

θ＝5π/6の時
ｘ+（π/4）＝5π/6
ｘ＝（5π/6）-（π/4）＝7π/12


よって答えは
ｘ＝7π/12、23π/12

どうでしょう？質問あれば書いてくださいね☆

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

とても丁寧なご説明で助かりましたm(_ _ *)m

お礼日時：2010/12/04 00:14

No.6 回答者： yasoukyoku415 回答日時： 2010/12/04 01:05

＞-π/12が範囲外なのは、マイナスがついているから…ということで良いのでしょうか？

そうです☆(*^-^)ニコ

ｘの範囲は「0≦ｘ＜2π」なので、これを考慮すると「-π/12」という答えは範囲外となってしまいます＞＜

０度と360度が同じ角度とみなせる考え方で

-π/12とこたえずに「23π/12」と答えないとNGなのです＞＜

あらわしている物は同じでも、表現を変えないとだめなんです＞＜

この回答へのお礼

何度もご回答ありがとうございました！
本当に助かりました。

来週からテストなので頑張ってきます(｀・ω・´)

お礼日時：2010/12/04 01:34

No.5 回答者： yasoukyoku415 回答日時： 2010/12/03 22:49

yasoukyoku415です。

補足いたします。

23π/12という解に疑問を持つかも知れないと思ったので
補足説明します。
θ＝π/6の時を考えたとき、答えが-π/12になりましたね。
これが範囲外ならπ/6から一周した（2π足した）13π/6でも計算してみるんです。
θ＝13π/6で計算すると答えは「ｘ＝23π/12」とでます。

しかし、そもそも「θ＝13π/6」ってやってるけど、θの変域的にOKなにか？？って悩みますよね？

大丈夫です「π/4≦θ＜9/4π」の後ろの「9/4π」の分母を12に通分してみてください。
9π/4＝27π/12
ね？
13π/6＝26π/12でギリギリセーフでしょ？？

このようにｘの変域が
「0≦ｘ＜2π」と１周バッチリある場合は必ず答えが2つあります。
コサインの場合も同じです。
うまく数値を操って２つの答えを答案に書きましょう☆

この回答へのお礼

ありがとうございます。正直なところ23π/12にちょっと納得しきれない気分でいました＾＾；

-π/12が範囲外なのは、マイナスがついているから…ということで良いのでしょうか？

お礼日時：2010/12/04 00:29

No.3 回答者： tomokoich 回答日時： 2010/12/03 22:10

sin(x+π/4)=1/2まで導き出せているので

sin(x+π/4)=1/2になる角度x+π/4をπ/4≦x+π/4≦9/4πから出せばいいと思いますx+π/4=5/6π
x=7/12π

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
ｘはsin=5/6πのときもあるんですよね。。

また自分で計算してみます！

お礼日時：2010/12/04 00:10

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2010/12/03 22:08

ｘ＋π／４＝Θ

とでもおいてπ/4≦Θ＜9/4πの範囲でsin(Θ)=1/2となるΘを求め、そこからπ／４を引けばそれがｘです。

この回答へのお礼

回答有難うございます！
θに置き換えると考えやすいですね
これからそうして考えてみるようにします(・ω・´)

お礼日時：2010/12/04 00:07

No.1 回答者： noname#137826 回答日時： 2010/12/03 22:03

惜しい！答えまでもうすぐのところまで来ています。

sinθ = 1/2 になるθは？と聞かれたら答えられますか？
θ = π/6, 5π/6ですね。
つまり、x+π/4 = π/6, 5π/6 を解けばいいのです。
π/4≦x+π/4＜9/4πですから、実際には、x+π/4 = 5π/6 を解けば答えが得られます。

この回答へのお礼

お早い回答ありがとうございます！

sinが1/2になる数を考えればよかったのですね(゜ ゜*)
何とか答えが出せてすっきりしました！

お礼日時：2010/12/04 00:02