電子書籍の厳選無料作品が豊富!

θの方程式 sin^2θ+αcosθ-2α-1=0 を満たすθがあるような定数αの値の範囲を求めよ。
という問題です。
模範解答では
f(x)=sin^2θ+αcosθ-2α-1 cosθ=xと置くと
=x^2-αx+2α (-1≦x≦1)

ここで模範解答では以下のような場合分けをしていました。
【1】放物線y=f(x)が -1<x<1の範囲で、x軸と異なる2点で交わる、または接する。
【2】放物線y=f(x)が -1<x<1の範囲で、x軸とただ1点で交わり、他の一点は x<-1 , 1<xの範囲にある。
【3】放物線y=f(x)がx軸と x=-1 または x=1 で交わる。

答えは -1≦α≦0 です。


「-1<x<1 の範囲で異なる2点で交わる」「-1<x<1 の範囲で1点で交わる」「-1<x<1の範囲で接する」「x=-1 または x=1 で交わる」
のはありますが
「x=-1 または x=1 で接する」というのはありません。これはいらないのですか?

また、もっと分かりやすい場合の分け方はないでしょうか?

教えてください。

A 回答 (4件)

この問題、かなりいいやり方があります。



x^2-αx+2α =0(-1≦x≦1)で解を持つようなaの範囲を求めよまでは同じで。

x^2=ax-2aと移行します。
この形にすれば「x^2」と「ax-2a」の交点を求める問題に見方を変えれます。もちろん「-1≦x≦1」の範囲で。
考え方は簡単で、まず式を分解
f(x)=x^2
g(x)=ax-2a
aの値を変化させて、-1≦x≦1の間で交点が少なくても一個あるようなaの範囲を考えればOKです。
これによってf(x)は動かなく出来るのでかなり考えやすいです。
g(x)を少し変形します。
g(x)=a(x-2)
これの意味することはかなり大きいです。
g(x)はaの値によらず必ず(2,0)を通るということになります。
【証明】-------------------------------------------------------
g(x)のyじくとの交点
y=0のとき
a(x-2)=0
x=2
よって、g(x)とy軸の交点はaの値によらず(2,0)
-------------------------------------------------------------------
ここまできたらさくさくです。
図を見てください。
このように(2,0)を固定して、g(x)の傾きを操作します。
すると、傾きが-1から0の間でしか、-1≦x≦1の間で解を持つことが出来ないのが
明白にわかりますね。
よって
-1≦a≦0
となるわけです。
「数学IIBの三角関数と二次関数の交じった」の回答画像2
    • good
    • 0
この回答へのお礼

皆さま回答ありがとうございました。

お礼日時:2010/12/05 13:53

>もっと分かりやすい場合の分け方はないでしょうか?



>f(x)=x^2-αx+2α=0 (-1≦x≦1)
これをαについて解くと
α(x-2)=x^2
縦軸をα、横軸をxにとって-1≦x≦1の範囲でαの値域を調べればよい。
明らかにx≠2なので(x-2)で割って
α=x^2/(x-2)=x+2+4/(x-2)
このグラフを描くと添付図のようになりxの存在領域(θが存在するxの範囲)、
つまりxの変域:-1≦x≦1に対して
αの値域:-1≦α≦0となることが分かる。
等号α=-1の時はx=1,α=0の時はx=0

この方法だと場合分けが必要ないですね。
「数学IIBの三角関数と二次関数の交じった」の回答画像4
    • good
    • 0

>数学IIBの三角関数と二次関数の交じった問題


 数学IIBという科目は現在はありません。またこの文において,交じったは混じったの誤りです。以後誤字に注意しましょう。
    • good
    • 0

こんばんわ。


テストの季節なのか、似たような質問が結構続きますね。^^
以下の質問も三角関数と 2次関数の問題についてですので、参考に。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6356727.html

>「x=-1 または x=1 で接する」というのはありません。これはいらないのですか?
「結果・結論としていらない」というのが、妥当かと思います。
接するときのαの値と重解を求めて見ると、x= 1, x= -1といった重解はないことがわかります。
ですので、模範解答上では書かれていないだけだと。
逆にいえば、「いらないのですか?」という疑問は非常に大事なことですし、よく考えていると思います。^^


>また、もっと分かりやすい場合の分け方はないでしょうか?
2次関数では、次の 3点がポイントになります。
「軸」「頂点の y座標(判別式)」「xの境界での値」

模範解答では触れられていないようですが、
「軸」をキーとして場合分けを考える方法もあると思います。
いまの問題であれば、
・軸が -1≦ x≦ 1の範囲に「ある」とき
・軸が -1≦ x≦ 1の範囲に「ない」とき

のそれぞれについて -1≦ x≦ 1なる解が存在するための条件を探っていきます。

その条件を探るときに、
「逆に、-1≦ x≦ 1なる解が存在しないのはどういうときだろう?」
と考えてみるのも一つの方法です。
添付の図で描いたグラフは「解が存在しないとき」の例をいくつか挙げたものです。

自分で考えられるグラフをいろいろと描いてみて(フリーハンドでいいので)、
軸の位置など、そこに表れてくる「特徴」を観察してみてください。
その「特徴」が、条件となって組み合わされることになります。

参考URL:http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6356727.html
「数学IIBの三角関数と二次関数の交じった」の回答画像1
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!