出産前後の痔にはご注意!

なめらかな水平面上で、質量mの物体を
自然長l、ばね定数Kの二つのバネで2dだけ
離れた二点ABの中央に取り付けます。

この物体を図の方向(ABの中心から、線分ABと垂直な方向)に
xだけ変位させて、手を離したとき、この物体は単振動を
するのでしょうか?

単振動の条件というものを探してみたところ、
xに比例した、振動の中心向きの力がかかると単振動になると
あったのですが、この場合は計算してみると、2つのバネから
受ける振動の中心向きの力は
F=-2K((x^2+d^2)-l)*x/(x^2+d^2)^(1/2)
と、計算が間違えていなければなると思うのですが、
これは単振動しているといえるのでしょうか?

「二つのバネで引っ張られた物体は単振動する」の質問画像

A 回答 (1件)

答えは、|x/d|≪1であれば、とても良い近似で単振動するとして良いのです。



それを証明します。

いま、その質量に働く力が、以下にこれから説明するを満たす、無次元量の変位ξ≡x/d の任意の関数fを使って

(1)    F=f(ξ)

で表されているとします。その条件とは、

(2) f(ξ)はξ=0のところで正則である。

(3) f(0)=0

(4) f'(ξ) ≡ df(ξ)/dξ < 0

更に、

(5)|ξ| = |x/d| ≪1

の場合を考えることにします。

先ず、条件(2)により、f(ξ)はξ=0のまわりでテーラー展開可能であり、

(6) F = f(0) + ξf'(0) + (ξ^2/2)f"(0) + (ξ^3/3!)f'''(0) + ...

とξの級数で書けます。ただしここで f"(ξ)はξに関する2階微分、f'''(ξ)は3階微分、、、を表しています。さらに(3)により、

(7) F = ξf'(0) + (ξ^2/2)f"(0) + (ξ^3/3!)f'''(0) + ...

となります。したがって(5)の場合には、ξの高次の項が無視できて、大変良い近似で、

(8) F ≈ ξf'(0) = (x/d)f'(0)

が成り立ちます。また、条件(4)により、(8)式の x の係数は負ですから、その質量は大変良い近似で単振動を行います。

しかし、もし|x/d| が1のオーダーかそれより大きくなると、(7)を(8)で近似できなくなりますので、単振動をしなくなります。

どうですか、条件(2)~(5)を満たす力ならどんな力でも、変位 x が十分小さい限り単振動で近似できるんですよ。凄いでしょう。

逆に、その条件のどれか一つでも満たさない場合には、単振動では近似できません。

貴方の例はその条件を満たしている場合ですね。

さてこの事から大変重要なことが分かります。どんな複雑な力が働いていても、もしその力が条件(2)~(5)を満たす力ならどんな力でも、その質点は単振動を行います。だから、物理学では殆どの問題で単振動が現れて来ます。だから、物理学ではことさら単振動を勉強させられるのです。

また、条件(2)~(5)のどれかが満たされなくなると、単振動をしない全く違った振る舞いをするようになります。だから、物理学者はそのような場合にも大変興味を持っています。

以上のように、条件(2)~(5)を満たすと、力は変位の1次関数に比例します。1次関数は真っすぐですから、これを線形系と言います。そして(8)の近似の事を線形近似と言います。

ところが、条件(2)か(5)のどちらかを満たさなくなると、力を変位の一次の関数では近似できなくなってしまいます。その場合、力は必然的に変位に関して曲線になりますから、それを非線形系と言います。非線形系の典型な振る舞いで特に重要なのは、カオスとして知られている振る舞いであり、現在世界中の物理学者や数理科学者達が研究しています。

非線形系の物理学は現在でも解らない事だらけです。だから、これからの若い方達に頑張ってもらわなくてはならない物理学の分野です。
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この回答へのお礼

なるほど!凄い!
このようにして、単振動するということが分かるのですね。
単振動の重要性も分かりました。

丁寧な回答をしてくださり、本当にありがとうございました。

お礼日時:2010/12/09 09:09

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Q運動方程式が立てられない(ばねの単振動)

添付した問図の問題で、運動方程式が立てられなくて困ってます!

問題⇒自然長l1、ばね定数k1のばねと自然長l2、バネ定数k2のばねの間に質量mのおもりをつけてなめらかな面に置き、両方のばねの他端を自然等の位置で固定した。運動方程式を求めよ。

ちなみに教科書の答えは、

m[xの二回微分] = -k1(x-l1) + k2(l1+l2-x-l2)

が正しい答えのようです。すみませんが[]の中は微分演算子d/dxを使って読みかえてください。
特に第二項がわけわからんです。なぜこういう式になるのか、教えていただきたいです!ちなみにフックの法則の式、微分を用いた運動方程式の基本は知っているつもりです。
よろしくお願いしますm(__)m

Aベストアンサー

こんにちは。

まず、最初に申し上げますが、
その模範解答を書いた人は、阿呆だと思います。
なぜならば、l1が1つ決まればl2も1通りで決まるので、
運動方程式の中には、l1とl2の両方を書く必要がないからです。

また、
そもそも「自然長」をl1、l2 と指定しているのに、
伸び縮みしたバネの長さもl1、l2と書いているのも阿呆です。
(ですから下の回答では、大文字でL1、L2 と書くことにします。)


1.
まず、あまりよくない解き方を示します。

ばね1によるおもりへの力は、-k1(x-L1)
これは、簡単。

次に、
ばね2によるおもりへの力は、右から左に見て
-k2((全長-x-L2)=-k2(L2+L1-x-L2)
だけれども、これを左から右に見たときは符号が逆になるから
+k2(L2+L1-x-L2)

この考え方は、右方向がプラスだとする考え方をしないで計算してから、後から戻すということなので、
かなり変な考え方です。

よって、2つのばねによるおもりへの合計の力は
-k1・(x-L1)+k2(L2+L1-x-L2) ←ご質問文にある式
 = -k1・(x-L1)+k2(L1-x)
 = -k1・(x-L1)-k2(x-L1)
 = -(k1+k2)(x-L1)
結局、L2は消えて、L1だけ残りました。


2.
今度は、よい解き方です。
ばね1もばね2も自然長のときのおもりの位置をゼロとする座標をy(=x-L1)と置けば、
・ばね1によるおもりへの力は、-k1・y
・ばね2によるおもりへの力は、-k2・y

よって、2つのばねによるおもりへの力の合計は、
-k1・y - k2・y = -(k1+k2)y
 = -(k1+k2)(x-L1)


ちなみに、
m[xの二回微分]
は、
m・d^2 x/dt^2
と書けばよいですよ。


以上ご参考になりましたら幸いです。

こんにちは。

まず、最初に申し上げますが、
その模範解答を書いた人は、阿呆だと思います。
なぜならば、l1が1つ決まればl2も1通りで決まるので、
運動方程式の中には、l1とl2の両方を書く必要がないからです。

また、
そもそも「自然長」をl1、l2 と指定しているのに、
伸び縮みしたバネの長さもl1、l2と書いているのも阿呆です。
(ですから下の回答では、大文字でL1、L2 と書くことにします。)


1.
まず、あまりよくない解き方を示します。

ばね1によるおもりへの力は、...続きを読む

Q高校物理、2本のばねに繋がれた物体の運動

滑らかな水平面上で質量mの物体にばね定数kのばねをつけ、どちらのばねも自然長になるようにして両端を壁に固定した。(物体がばねに挟まれている)物体を右にdだけずらして静かに放した時の振動の周期と、振動の中心を通るときの速さを求めよ。
(解答)
右向きを正とする。右にxだけ変位したときの加速度をaとすると、ma=-2kx
k>0より、この運動は単振動である。
ここまで出来たのですが、続きがわかりません。教えてください。

Aベストアンサー

ヒントのみ。
物体が変位dにある時の物体の運動エネルギーは0で、変位から弾性エネルギーは求まる。物体が振動の中心を通る時には運動エネルギは0で運動エネルギーのみを持つ。エネルギー保存を使えば、中心での速度は求まる。周期についてはゼロから求めることもできるが、働く力が随時変化することを考慮しなければならないので、微積分が必要。高校物理の範疇ではないような気がする。したがって、単に既知の周期の式に代入するだけでは(物体を引っぱるばねと押すばね、それぞれから力を受けるので使用するばね定数に注意)。

Q物理 ばねにつながれた二物体の運動

質量M,mの質点をばねでつなぎ、なめらかなx軸上水平面で質量Mの質点に任意の初速を与えた時の運動を解析したいのですが、運動方程式の立て方がわかりません。
教えていただきたいです。

Aベストアンサー

ここで説明すると大変なので、下記などを参照してください。手抜きですみません。

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E3%81%A8%E6%B3%A2%E5%8B%95_%E8%A4%87%E6%95%B0%E7%B2%92%E5%AD%90%E3%81%AE%E6%8C%AF%E5%8B%95

http://rokamoto.sakura.ne.jp/education/physicsI/two-body-coupled-spring-qa080724.pdf

Qばねによる弾性エネルギーと力学的エネルギー。

上端を固定したばねに、質量mのおもりをつけた。おもりを自然長の位置から静かに下げていくと、のびがaのときにつり合った。重力加速度の大きさをg、重力による位置エネルギーの基準点を自然長の位置とする。
(1)つり合いの位置での力学的エネルギーをaを使って表せ。
(2)再び自然長の位置までおもりを持ち上げ、そこで急に手を離したところ、
おもりはつりあいの位置を中心に上下に単振動をした。つりあいの位置でもおもりの速さを求めよ。
(3)ばねの最大の伸びはいくらか。

まず(2)から質問。回答では自然長とつりあいの位置で、力学的エネルギー保存の法則を使って

mg×0 + 1/2m×0^2 + 1/2k×0^2 = mg(-a) + 1/2mv^2 + 1/2ka^2

となっていました。
この右辺は簡単に理解できます。つりあいの位置での全力学的エネルギーです。
しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね?

右辺は物体を付けた状態の時のエネルギーなのに、左辺はそもそも物体を付けてない時の状態の力学的ねるぎーです(とはいっても0ですが。)

これが解答である以上私が間違っているのですが、おかしいと思います。

つまり、力学的エネルギーの総量が一番左の図とつりあいの図では違うから、力学的エネルギー保存則が使えないと思ったのです。
それに、つりあいの位置での力学的エネルギーの総量が=0 なんてこれも理解しづらい。
物体もついているから負の位置エネルギーもあるだろうし、ばねの弾性力もあると思います。
なのに0と等しいなんてわかりません。

次、(3)の問題です。回答では

ばねの最大の伸びをXとすると、最大の伸びのとき速さは0だから(わかる。)

mg×0 + 1/2m×0^2 + 1/2k×0^2 = mg(-X) + 1/2m×0^2 +1/2kX^2

右辺はわかります。最大の伸びのときの全力学的エネルギーです。

しかしこれまた、左辺が自然長のときの全力学的エネルギーです(0ですが)。
(2)と同じで、自然長の時は物体を付けていないから、弾性力のエネルギーも、位置エネルギーもないので、このときと最大の伸びのときの力学的エネルギーが等しいなんて思えません。
(状況が違うから。)

最後になりましたが、長々としたのはかなり自分も考えましたが、分からない部分がはっきりつかめないので、しつこく書いてみました。

解決して次の問題に行きたいと思っていますので、物理に自身のある方、この問題が分かる方
誰か教えてくれる方はおられませんか。
よろしくお願いします。

上端を固定したばねに、質量mのおもりをつけた。おもりを自然長の位置から静かに下げていくと、のびがaのときにつり合った。重力加速度の大きさをg、重力による位置エネルギーの基準点を自然長の位置とする。
(1)つり合いの位置での力学的エネルギーをaを使って表せ。
(2)再び自然長の位置までおもりを持ち上げ、そこで急に手を離したところ、
おもりはつりあいの位置を中心に上下に単振動をした。つりあいの位置でもおもりの速さを求めよ。
(3)ばねの最大の伸びはいくらか。

まず(2)から質問。回答では自然長...続きを読む

Aベストアンサー

数学(値)としての等しさと物理的状態の等しさを混同されているのが根本原因だと思います。

■質問者様の疑問その1 問題(2)
>しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね?

 計算結果の総量が0になるので数値はそうなります。ただし、あくまで解答の左辺は真ん中の図のように重りを付けた状態で、自然長位置に来た時の式です。左の図の状態と「値」が等しくなってしまう「0」になるように条件を設定しているため混乱するのです。なぜ左の図と等しくなるのか。1つは「自然長の位置までおもりを持ち上げ、そこで急に手を離した」こと。2つ目は「重力による位置エネルギーの基準点を自然長の位置」としていること。
 摩擦や減衰を無視すると、このばねは永遠に自然長位置を頂点として振動を続けます。最頂点の位置に来た時、題意から変位は基準点のため0、速度も0、ばねの自然長からの変位も0になるので左辺の状態になります。この瞬間にサッと重りを取り除くと左の図の状態になります。しかし実際には重りが付いていますので、次の瞬間に重力によりばねが伸びていきます。ここが左の図と問題(2)中の重りが最頂点に来たときの違いです。瞬間的な値は等しいですが状態は異なります。

>つまり、力学的エネルギーの総量が一番左の図とつりあいの図では違うから、力学的エネルギー保存則が使えないと思ったのです。

 真ん中の図のばねに重りがついた状態での、自然長位置(最高点)とつりあい位置では保存則が成り立っています。
 瞬間的な値が同じになるだけで、左の図と真ん中の図の間ではエネルギー保存則は成り立っていません。重りの着脱には外力(この場合は人の手ですかね)が必要ですし、重りのない状態ではばねをaの位置まで伸ばすエネルギーは在りません。


■質問者様の疑問その2 問題(2)
>それに、つりあいの位置での力学的エネルギーの総量が=0 なんてこれも理解しづらい。物体もついているから負の位置エネルギーもあるだろうし、ばねの弾性力もあると思います。なのに0と等しいなんてわかりません。

 この場合の(数字の0)≠(存在しない)です。ここが物理現象と式の間の分かりにくさですかね。ここではイコールで0になるのはつり合っていることを表しています。物体による位置エネルギーとばねの弾性力が反対向きにつり合っている状態です。(力学的エネルギー)=0と見ると分かりにくいのであれば、(重力による位置エネルギー+運動エネルギー)=(ばねの弾性力による位置エネルギー)と移項すれば分かりやすいでしょうか。

■質問者様の疑問その3 問題(3)
>しかしこれまた、左辺が自然長のときの全力学的エネルギーです(0ですが)。

これも問題(2)と同様です。数値的には0になりますが、あくまで左辺は重り付きの状態を示しています。



 私の説明で分かりにくければすみません。その時は基準点の位置を、重りを付けた時のつり合いの位置にするなど仮定を変更すると分かりやすいと思います。
 重りの有無に関係ない数値(変位や速度)が0になるので数学上0となり等しい状態に見えるだけで、重りの有無は明確な物理状態の違いです。逆に言えば、力学的エネルギーの保存則のある一状態だけでは運動系の全体状態を記述できないのです。
数値上納得できない場合、仮定を色々おきかえて記述してみると分かったりします(ex.基準点を変えたり)。

参考URL:http://blog.livedoor.jp/aritouch/archives/2943111.html

数学(値)としての等しさと物理的状態の等しさを混同されているのが根本原因だと思います。

■質問者様の疑問その1 問題(2)
>しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね?

 計算結果の総量が0になるので数値はそうなります。ただし、あくまで解答の左辺は真ん中の図のように重りを付けた状態で、自然長位置に来た時の式です。左の図の状態と「値」が等しくなってしまう「0」になるように条件を設定しているため混乱するのです。なぜ...続きを読む

Q高校物理、ばね定数

物理の参考書に解説なしで、添付図が載せられ、合成定数=k1+k2の公式が載っていました。
(1)証明を調べたのですが、教科書にはなかったので、教えてください。
(2)また、図の真ん中の丸は重りでしょうか?重りをつるして、両端を固定すると、ばねは伸び縮みするのですか?過程を教えてください。

Aベストアンサー

>(1)証明を調べたのですが、教科書にはなかったので、教えてください。

 こういう場合のコツですが、まず向きで正(プラス)負(マイナス)を決めておきます。バネが引っ張るから、縮むからと考えると、ちょっとややこしくなることがあります。どちらでもいいのですが、右向きを正(プラス)とします。

 バネの両端は固定してあるとします。両端が動いてしまうなら、この図でのバネ定数は求めようがありません。例えば、両端が完全に自由に動けてしまうと、●を動かすのについて、バネは関係なくなってしまいます。

 バネに挟まれた●を右(←正、プラス)の方向へxだけ動かしたと考えてみます。今は、x>0と考えてOKです。

 すると、●は左のバネ乗数k1のバネからは、大きさk1xで左向きの力を受けます。右向きを正としたのですから、力は「-k1x」です。

 さらに、●は右のバネ定数k2のバネからは、大きさk2xで左向きの力を受けます。右向きを正としたのですから、力は「-k2x」です。

 ●が受ける力Fは、その二つの力だけですから、後は単純に足せばいいのです。単純に足してよいのは、向きで正負を決めておいたからです。力の大きさだけ考えて、向きを考えていないと、ここで足すのか引くのか考えなければならなくなります。予め向きで正負を決めておいたので、ここではもう足すか引くかを考えなくてよいのです。

 F=(-k1x)+(-k2x)=-(k1+k2)x

 もし、●を左(←負、マイマス)の方向に動かしたのなら、x<0だと考えれば、上の式が出てきます。

 この式は、バネ定数の式「F=-kx」とよく似ています。見比べれば「k=k1+k2」だと分かります。

>(2)また、図の真ん中の丸は重りでしょうか?重りをつるして、両端を固定すると、ばねは伸び縮みするのですか?過程を教えてください。

 そういう図なんでしょうね。両端も固定です。そうでなかったら、教科書に記載してある「k=k1+k2」も出せません。

この図では、バネ定数kが「k=k1+k2」のバネ一つだけだとして扱ってよく、●を重りと考え、それを動かして放した後の単振動の周期なども、バネ定数kのバネ1つだとして計算できます。

>(1)証明を調べたのですが、教科書にはなかったので、教えてください。

 こういう場合のコツですが、まず向きで正(プラス)負(マイナス)を決めておきます。バネが引っ張るから、縮むからと考えると、ちょっとややこしくなることがあります。どちらでもいいのですが、右向きを正(プラス)とします。

 バネの両端は固定してあるとします。両端が動いてしまうなら、この図でのバネ定数は求めようがありません。例えば、両端が完全に自由に動けてしまうと、●を動かすのについて、バネは関係なくなってしまいま...続きを読む

Q単振動

こんばんは。高校物理の単振動に関する問題です。
[問題]
振幅A、振動数fの単振動をしている物体の、振動の中心を原点としたとき、時刻tにおける物体の変位xを表す式を記せ。ただし、時刻t=0における変位はAであったとする。

[解答]
この解答として、単振動の変位はx=Asin(ωt+Φ)で与えられる。ω=2πfであり、周期t=0における変位はAであるから、Φ=π/2となり、x=Acos2πft 

とありました。ここで質問ですが、どうして単振動の変位は
x=Asin(ωt+Φ)という式が導き出されるのでしょうか?具体的に、Φとはどういうものですか?

 よろしくお願いします。

Aベストアンサー

[少し難しい解説]
もし高三で数学IIIを理解しているのなら、x=Asin(ωt+Φ)をtで二回微分してみてください。ωをうまく定めれば(具体的にはω=sqrt(k/m))、xが単振動の運動法方程式mx''=-k xを満たす解となっていることが分かるはずです。二階の微分方程式を解くには積分が二階必要で、数IIで習ったように二階積分すると一般をあらわすには二個の積分定数が必要です。(AとΦ)
(これが分かれば最高ですが、もしこれが分からなくても気にしないでください。勉強を続ければそのうち分かります)

[簡単な解説]
単振動がsinあるいはcosで表せる事を認めたとします。
振動を特徴付ける量は何でしょうか?
1.まず振幅を汁必要があります。これがAです
2.それから振動の速度の情報も必要があります。これがωです。
3.実はこれだけでは足りず、振動を完全に記述するには、振動開始の時(t=0)のときにどの位相にあったかをしる必要があります。バネの問題なら、t=0のときにバネが伸びているときに手を離す問題や、あるいは釣り合いの位置から何かではじいて振動を開始させる問題など、いろいろ考えられ、これを区別する必要があります。少し考えればΦの値を変えることで、これが式の上で再現できるのが分かるのではないでしょうか?
バネが伸びた状態から振動をはじめる、あるいは振り子が高い位置から振動をはじめるようなときは、x=Acos(ωt)になるのは参考書にも書いてあるでしょうが、実はΦ=90度 or pi/2ラジアンとすることで、同じ事が再現できます。つまりx=Asin(ωt+Φ)で全ての場合が再現できるのです。(中途半端な位置から振動をはじめた場合などもうまくΦを選べば大丈夫です)

こう考えると、
> ちなみに、参考書には単振動の変位に関する公式はx=Asin(ωt)
> となっておりますが、x=Asin(ωt)に対して、どのような条件付けがされるとx=Asin(ωt+Φ)になるのでしょうか?

この参考書の記述は一般的には正確ではなく、単振動の変位の公式はx=Asin(ωt+Φ)とするべきです。ではどの条件のもとでx=Asin(ωt)になるかが問題になります。それはΦ=0の時です。これは物理的にはバネが釣り合いの位置から振動をはじめたり、振り子が最下点から上昇することで振動をはじめたりしたときです。サイン関数のグラフを思い浮かべてみてください。

参考になれば幸いです。

[少し難しい解説]
もし高三で数学IIIを理解しているのなら、x=Asin(ωt+Φ)をtで二回微分してみてください。ωをうまく定めれば(具体的にはω=sqrt(k/m))、xが単振動の運動法方程式mx''=-k xを満たす解となっていることが分かるはずです。二階の微分方程式を解くには積分が二階必要で、数IIで習ったように二階積分すると一般をあらわすには二個の積分定数が必要です。(AとΦ)
(これが分かれば最高ですが、もしこれが分からなくても気にしないでください。勉強を続ければそのうち分かります)

[簡単な解説]...続きを読む

Q分子結晶と共有結合の結晶の違いは?

分子結晶と共有結合の結晶の違いはなんでしょうか?
参考書を見たところ、共有結合の結晶は原子で出来ている
と書いてあったのですが、二酸化ケイ素も共有結合の
結晶ではないのですか?

Aベストアンサー

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素SiO2の場合も
Si原子とO原子が共有結合し、この結合が立体的に繰り返されて
共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
tomasinoさんの言うとおり、二酸化ケイ素も共有結合の結晶の1つです。

下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドC
C原子の4個の価電子が次々に4個の他のC原子と共有結合して
正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛C
C原子の4個の価電子のうち3個が次々に他のC原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
黒鉛は電気伝導性があります。
(多分この2つは教科書にも載っているでしょう。)
●ケイ素Si
●炭化ケイ素SiC
●二酸化ケイ素SiO2

私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素Si...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q<<単振り子>>最下点通過のときの糸の張力?

はじめまして。高校生のlemon9です。
高校物理の質問があって投稿しています。
【問題】
糸の一端に物体をつけ他端を天井の一箇所に固定して、
糸が鉛直方向と60゜(=θ)を成す位置から振らせる。
(単振り子の状態)
物体が最下点を通過するとき、物体に働くすべての力とその大きさは?


という問題で、働く力は、
●糸の張力=T  ●重力=mg
ここまでは分かりました。

しかし、模範解答によれば、
"この2力の間には、T=2mgなる関係が存在する"
ということで、そこが分からず困っています。
学校の先生は高校物理IIの知識を使うのだとおっしゃっていたのですが、自分の持ち合わせの教材が物理Iまでのものなので、解決することが出来ませんでした。

さらに、θ=90゜のときの最下点の張力についても教えて頂けたら嬉しいです。お願いいたします(__)

Aベストアンサー

 まず、振り子の糸のの長さを L 最下点での速度を v とすると、力学的エネルギーの保存から
(1/2)mv^2=mg(1/2)L
となり、後の計算のためにこれを mv^2=mgL と変形しておきます。

 最下点では半径 L の円運動をしており、おもりには mv^2/L だけの向心力(上向き)が働いています。(ここは 物理II の内容です)

 この向心力は、おもりに働く張力T(上向き)と重力mg(下向き)によって生じているので、

T-mg=mv^2/L

となります。この式に先の mv^2=mgL を使って変形すれば T=2mg が得られます。

Q傾斜面での単振動

水平面ACから30°傾いた斜面ABに沿って、質量の無視できるバネの一端を斜面下端のついたてに固定し、他方の端に大きさの無視できる質量mの物体Aを固定した。
バネは自然長からLだけ縮んでつりあったこの位置を原点Oとする。
重力加速度をg、バネ定数をkとする。このとき斜面に沿って上方にdだけひっぱって手を離したときの角振動数を求めなさい。

自分は角振動数を求めるときは、運動方程式をたてて加速度について解き

加速度=-ω二乗(振動の中心からの変位-振動の中心)

とくらべて解いてたのですが、今回運動方程式を立てたら加速度をa
として

ma=mgsin30-kd

という式となりこれをaについて、解いて式を比べようと思ったのですが、解答ではmgsin30を無視してma=-kdの式についてくらべていました。

単振動の時は外力を無視して考えるのでしょうか。

どうか教えてくださいよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>単振動の時は外力を無視して考えるのでしょうか。

 いや、そういうわけではないのです。

 この問題であれば、物体は「ばねからの力」「重力」「斜面からの垂直抗力」を受け、それらの力による運動をします。このうち、垂直抗力は重力の斜面に垂直な成分と打ち消しあうので、「ばねからの力」と「重力の斜面方向成分」を考えることになります。

 ばねからの力は「つりあいの位置からの変位」ではなく、「自然長からの変位」に比例します。自然長から L だけ縮んだところがつりあいの位置なので、このとき既にばねから kL の力を受けています。(斜面上向きを正の向きとする)ここでつりあっているので、kL は重力の斜面方向成分 mgsin30°と同じ大きさです。

 さて、つりあいの位置から d だけ上方に引っ張ったとき、物体にはたらくばねからの力は k(L - d) になります。重力の斜面方向成分は mgsin30°のままですから、運動方程式は

 ma = k(L - d) - mgsin30°

となります。ここで( )を展開すると、kL = mgsin30°なので

 ma = -kd

となります。


……と、ちょっと邪魔くさい計算をした結果 ma = -kd が出てきているので、決して「外力を無視」しているわけではありません。

 一度これを理解しておくと、実際に式を作るとき、問題の条件からいきなり ma = -kd としていいわけです。
 つまり、単振動は、「つりあいの位置」からの変位に比例した復元力による運動である、ということを利用します。この問題ではつりあいの位置は自然長から L だけ縮んだところですが、ここを原点とすると、このつりあいの位置からの変位 d に比例した復元力が働き、その比例定数はばね定数になるわけです。

>単振動の時は外力を無視して考えるのでしょうか。

 いや、そういうわけではないのです。

 この問題であれば、物体は「ばねからの力」「重力」「斜面からの垂直抗力」を受け、それらの力による運動をします。このうち、垂直抗力は重力の斜面に垂直な成分と打ち消しあうので、「ばねからの力」と「重力の斜面方向成分」を考えることになります。

 ばねからの力は「つりあいの位置からの変位」ではなく、「自然長からの変位」に比例します。自然長から L だけ縮んだところがつりあいの位置なので、こ...続きを読む


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