正方形の個数

チェス盤（８×８）がある。このチェス盤には何個の正方形が存在するか。
という数学の問題なのですが、正方形の大きさに分けて個数を足していくやり方(8*8+7*7+6*6+5*5+4*4+3*3+2*2+1*1)は見つけたのですが、他にも求め方があるようです。
他にどのような求め方があるのでしょうか？

No.2 回答者： noname#157574 回答日時： 2011/02/24 19:53

数列｛n²｝の和は

Σ［k＝1→n］k²＝n(n+1)(2n+1)/6
で簡単に求められます。本問の場合，n＝8を代入して，
Σ［k＝1→8］k²＝8・9・17/6＝12・17＝204
となります。

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2010/12/09 21:40

数え方はいろいろあるけど、要は下図の数字の合計の仕方です。

１　１　１　１　１　１　１　１
１　２　２　２　２　２　２　２
１　２　３　３　３　３　３　３
１　２　３　４　４　４　４　４
１　２　３　４　５　５　５　５
１　２　３　４　５　６　６　６
１　２　３　４　５　６　７　７
１　２　３　４　５　６　７　８


それぞれの数字を階数とみなして、

各階の数を数えれば、
8*8+7*7+6*6+5*5+4*4+3*3+2*2+1*1

同じ階数の数を数えれば、
1*15+2*13+3*11+4*9+5*7+6*5+7*3+8*1

左上から右下に斜めに数えれば、それぞれの計は三角数になっているので、
1+3+6+10+15+21+28+36+28+21+15+10+6+3+1