長方形の対角線の長さの最大値

１辺の長さがa,bの長方形があり、a+b=1の時、
この長方形の対角線の長さの最大値と
a,bの値はいくらですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： pasocom 回答日時： 2010/12/10 12:37

長方形の対角線の長さの２乗（^2）を考えると、それは

a^2＋b^2　ですね。
ここで、a+b=1　ですから、b=1-a　です。これを上の式に代入。
a^2＋（1-a）^2
＝a^2＋1-2a＋a^2
＝2a^2-2a＋1
＝2（a-0.5）^2＋0.5

ですので、a=0.5（b=0.5）の時に対角線は最も短くなり、その長さは√0.5　です。
問題は、このように対角線の長さの「最小値」を求めよ。ではありませんか？。
「最大値」は、長方形が限りなく扁平になった時に限りなく「1」に近づく、としか言いようがありません。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
最大値は確かに１ですね。
式の変形で(a-0.5)^2が思いつかないでカベに当たってました。

これは自分で考えたオリジナル問題なんで、
別にミスプリとかそういうのではないです。

お礼日時：2010/12/10 15:37

No.5 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/12/10 13:41

ごちゃごちゃ言ってないで、解いてやったら良いんじゃないか。

その解をどう利用するか、は質問者次第。

ピタゴラスの定理から、(対角線)＾2＝a＾2+b＾2＝(a+b)＾2-2ab＝1-2ab　であるから、abの値の範囲が定まると良い。
ab＝mとすると、aとbは　t＾2-t＋m＝0　‥‥(1)　の2つの正の解。
従って、判別式≧0、2解の和＞0、2解の積＞0　より　0＜m≦1/4　‥‥(2)
(対角線)＾2＝a＾2+b＾2＝(a+b)＾2-2ab＝1-2ab＝1-2m　‥‥(3)
(2)の条件で、(3)の値の範囲を定めると良い。
(3)は傾きが　-2　のmの一次関数(＝直線)だから、グラフを書くと直ぐわかるだろうが、1-2m≧1/2
つまり、対角線の最小値は　1/√2　で、最大値は定まらない。
最小値を与えるのは、m＝1/4　だから、(1)よりa＝b＝1/2　の時。

これが解らなければ、b＝1-a＞0から、0＜a＜1.
よって、(対角線)＾2＝a＾2+b＾2＝(a+b)＾2-2ab＝1-2ab＝1-2a(1-a)＝2a＾2-2a＋1＝2(a-1/2)＾2＋1/2　であるから、0＜a＜1の範囲で値の範囲を求めるだけ。
最小値はあるが、最大値は定まらない事は直ぐわかるだろう。

この回答へのお礼

丁寧な解答ありがとうございます。

お礼日時：2010/12/10 15:42

No.4 回答者： noname#137826 回答日時： 2010/12/10 13:38

対角線の長さを L とすると、

L^2 = a^2 + b^2

です。これに a + b = 1 を代入して b を消去すると、

L^2 = 2(a-1/2)^2 + 1/2

のように式変形できます。したがって、 a = b = 1/2 のとき L は最大値 sqrt(1/2) をとる、とわかります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
放物線にするのを思いつかず、判別式が虚数になるので
詰まってました。

お礼日時：2010/12/10 15:41

No.3 回答者： Yodo-gawa 回答日時： 2010/12/10 12:41

まず、自分で解いてみましょう。

丸投げはお奨めできません。
あと、質問者が小学生か中学生か高校生かで、教えられる解法が異なります。
その追加情報を求めます。

最後に、数学において、解法の丸暗記は無意味で無益であることを告げておきます。

この回答へのお礼

これは自分で考えたオリジナル問題なんで、
別に宿題、レポート丸投げとか
そういうのではないです。

お礼日時：2010/12/10 15:40

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/12/10 12:38

こんにちわ。

結論から言うと、「最大値はありません（存在しません）」
問題としては、次の問題と同じになります。

a＞ 0, b＞ 0, a+b＝ 1のとき、L＝√(a^2+ b^2)の最大値はいくつになるか？
また、そのときの aと bの値は？

「長方形」が形作られるためには、0＜ a＜ 1, 0＜ b＜ 1でなければならず、
このとき最大値は存在しません。


感覚的には、対角線上で向かい合う 2つの頂点間の距離がどうなるかを考えることになります。
どちらか一方を 1に近づければ、2点間の距離も 1に近づきながら離れていきます。
が、1にすることはできません。（長方形でなくなるから）
逆に、最小値（もっとも近いとき）は、2辺が等しいときになることもイメージできるかと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
イメージがつかみやすくなりました。

お礼日時：2010/12/10 15:40