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3分の1の40乗は少数第何ケタに始めて0でない数字が現れるのかまた0ではない数を求めよという問題です
なおlog10の3=0.4771として
答えは少数第20桁目に初めて0でない数字8が現れる。
答えの求め方がわからないので詳しい解説などお願いします

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A 回答 (3件)

0.3の常用対数は


log_10(0.3)=-0.5229=-1+0.4771
です。
ここで、-1の部分が小数点以下初めて0でない数値が表れる桁数で、この場合は小数点以下1桁で0でない数値が来るよということを表します。
また、+0.4771の部分が0でない数値の常用対数を表しています。log_10(3)=0.4771 (10^0.4771=3ということ、「^」は指数、何乗のことです) だから、小数点以下1桁目の数値は3だということです。元の数は0.3だったから合っていますよね。

それで、(1/3)^40の話です。
log_10{(1/3)^40}=40×log_10(1/3)=40×{log_10(1)-log_10(3)}=40×{-log_10(3)}=40×(-0.4771)=-19.084=-20+0.916
です。

0.3のところで説明したように、0でない数値が出てくるのは、小数点以下20桁めで、その数値は、10^0.916=8.241だから、
8です。
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x=(1/3)^40とおくと,両辺の常用対数をとって


log[10]x=log[10](1/3)^40=40(log[10]1-log[10]3)=40×(-0.4771)=-19.084
-20≦log[10]x<-19より10^(-20)≦x<10^(-19)
したがって(1/3)^40は小数第20位に初めて0でない数が現れる。
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(1/3)^40の対数をとってやります(底は10、以降省略します)。


なぜ底を10とする対数をとるかというと、
log100=2
log0.1=-1
のように、10進数の桁数が判るからです。

log(1/3)^40=40log(1/3)
           =-40log3
           ≒-19.1

これより
10^-19<(1/3)^40<10^-20
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