相似な立体があり.相似比が2:3です

(1)2つの立体の表面積の比を求めてください

(2)2つの立体の体積比を求めてください

解き方の説明があればうれしいです
お願いします!

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A 回答 (1件)

立体が相似であれば、それらを構成する面の形もまた相似になります。

相似な図形の面積比は相似比の二乗になるので、二つの立体の表面積比は4:9です。

相似な立体の体積比は相似比の3乗になるので、二つの立体の体積比は8:27です。

簡単な立体(例えば立方体)で考えてみると判りやすいと思います。
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Q相似な立体の体積比(数学IA) について教えてください。

相似な立体の体積比(数学IA) について教えてください。

数学IAの問題で
添付図の立体は、底面の半径が4cmの円錐を底面から2cmのところで底面に平行な平面で切ってできたものである。この立体(太線)の体積を求めよ。

という問題です。解答によると元の円錐の体積をVとすると求める立体の体積Sは

S={1-(3/4)^3}V

となっています。{1-(3/4)^3}この部分が分かりません。何故このようになるのか教えて頂けると助かります。

Aベストアンサー

おはようございます。
まさに「相似」を活用する問題ですね。

>{1-(3/4)^3}この部分が分かりません。
全体:V(底面が半径 4cmの円の円錐)から上の部分:U(底面が半径 3cmの円の円錐)を差し引けば、問題の円錐台の体積が求まりますね。

Uは、Vを 3/4に縮小した円錐になっています。
ということは、体積比は(相似比の 3乗)に比例するので
V- U
= V- (3/4)^3* V
= { 1- (3/4)^3 }* V

となります。

Q相似比・面積比・体積比

相似比がm:nのとき、面積比はm^2:n^2、体積比はm^3:n^3となりますよね。

例えば、相似比が与えられていて、それを利用して面積を出すといった問題がありますが、時々、相似比を使う場合と、使わない場合がごちゃごちゃになって解答されている問題があります。

相似比を利用する場合と利用しない場合、どのように見分ければよいのでしょうか?

回答宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

>相似比を利用する場合と利用しない場合、どのように見分ければよいのでしょうか?
「相似比」は、相似な図形(もとの図形とその拡大版、または、もとの図形とその縮小版、あるいは、形が同じで大きさが違う図形)に対してだけ考えることができます。
相似な図形でない場合は、相似比は使えません。

Q相似形の体積比、面積比

相似形の面積比は相似比の2乗
面積比がわかっていて相似比を出したいときは√面積比でいいのはわかりますが、

相似形の体積比は相似比の3乗
この場合、体積比がわかっていて相似比を出したいときはどうするのでしょうか?

何方か教えてください><。

Aベストアンサー

例えば体積比が1:27の相似な立体の相似比は1^3:3^3より1:3ですね。
逆に考えればいいんですよ。

Q体積を微分すると表面積になる立体の条件(大学の知識で)

大学の数学科を卒業した者です。

高校時代、半径rの球の体積をrで微分すると、表面積になることは数IIで習いました

そして、その次に一辺がrの立方体の体積をrで微分すると、表面積にはならないことも習いました。

そして今、一般の立体で体積を微分すると表面積になる立体の条件を考えています。立体をいくつかの場合に分けてみました。

(1)正多面体の場合・・・一辺をrとするのではなく、ある長さをrととることで、体積をrで微分すると表面積になることは発見しました。
例えば立方体では一辺を2rとすれば、成り立つ。

(2)回転体の場合・・・C1級関数y=f(x)(a≦x≦b)をx軸まわりに回転させてできる曲面積は
2π(|y|√(1+y^2)のa~bの積分)
だったので、これが回転体の体積をxで微分したものと一致すればよいのですが、条件が求まりません。(問題1)

(3)回転体でない立体の場合・・・何で微分するのかすら分からないので見当がつきません。(問題2)

ただ、いろいろな立体で試している中で、共通して見えてきたのは、「滑らかな曲面である」と言うことです。
例えば半径r、高さが定数の円柱は成り立たないのですが、両サイドに半径rの半球をそれぞれくっつけた立体では成り立ちました。
ただこの滑らかさはどれくらい必要か。C1でいいのかさらに必要か。(問題3)

一応、専攻外ですが解析幾何の授業も受けてておりましたので、この条件や参考文献をご存知の方、ぜひ宜しくお願いします。

大学の数学科を卒業した者です。

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Aベストアンサー

 問題の趣旨としては体積V、表面積Sが1変数tで定まるような場合(V=V(t)、S=S(t))を想定していると思いますが、どのような立体に対してdV/dt=Sとなるかと言うことなら適当に条件を付ければ(1)のように形状としては任意の形状の立体に対してdV/dt=Sとなるようにできます。ここで適当な条件というのはtに対する立体の変形のさせ方が相似変形であるということと変形のパラメータtをdV/dt=Sを満たすように一定倍率で調整するということです。
 相似変形でない場合(ご質問の円柱+球の組み合わせで円柱の高さを変えないで円柱・球の半径のみ変えるなどの場合)にはその指定の仕方によっていろいろ変わってくると思います。1例を(2)に示します。
 例(1)(2)等から考えるに、「この形状ならdV/dt=Sとなる」と言うものではなく、形状と変形のさせ方とを組み合わせて考慮する必要があるようです。形状と変形のさせ方とを組み合わせた上で、dV/dt=Sを満足するようにするにはあくまでdV/dt=Sが条件であって、[形状と変形のさせ方とを組み合わせた上でdV/dt=Sとなる条件]を気の利いた形で表現するのは難しいように思えます。

(1)任意形状の立体の例
任意形状の立体を相似変形させることを考え、変形のパラメータをtとすると
V(t)=a・t^3
S(t)=b・t^2
a、bは立体の形状によって決まる定数
とするとき、新たに
t'=(3a/b)t
を変形のパラメータとし、このt'を改めてtとすればdV/dt=Sとできます。

(2)直方体の例
各辺の長さをa、b、cとして
a=a(t)
b=b(t)
のように変形のパラメータtに対して辺a、bを適当な(任意の)関数で変形するようにしたとき、辺cのtに対する変形の関数を調整してdV/dt=Sとなるようにできますが、このようなcの関数はdV/dt=SのV、Sにa、b、cを代入してできるcについての微分方程式から決定できます。

 問題の趣旨としては体積V、表面積Sが1変数tで定まるような場合(V=V(t)、S=S(t))を想定していると思いますが、どのような立体に対してdV/dt=Sとなるかと言うことなら適当に条件を付ければ(1)のように形状としては任意の形状の立体に対してdV/dt=Sとなるようにできます。ここで適当な条件というのはtに対する立体の変形のさせ方が相似変形であるということと変形のパラメータtをdV/dt=Sを満たすように一定倍率で調整するということです。
 相似変形でない場合(ご質問の円柱+球の組み合わせで円柱の高さ...続きを読む

Q立体の共通部分の体積と表面積について

aを正の定数とする。xyz空間において、円柱y^2+z^2≦a^2と角柱|x|+|z|≦aとの共通部分をKとする。
(1) Kの体積を求めよ。
(2) Kの表面積を求めよ。

(1)は次のように解答したのですが、合っているでしょうか。(2)の方はわかりません。

(1)
y=akで切った断面積Sを求める。
z^2≦a^2(1-k^2)
-a√(1-k^2)≦z≦a√(1-k^2)
Sは六角形になり、
S=(a√2)^2-2・1/2・[a{1-√(1-k^2)}]^2
 =2a^2-a^2{2-k^2-2√(1-k^2)}
 =a^2{k^2+2√(1-k^2)}
V=2∫(0~1)a^2{k^2+2√(1-k^2)}adk
 =…
 =a^3(2/3+π)

Aベストアンサー

(1)
>S=(a√2)^2-2・1/2・[a{1-√(1-k^2)}]^2 ← ×
間違い
正:S=(a√2)^2-4・1/2・[a{1-√(1-k^2)}]^2

> =2a^2-a^2{2-k^2-2√(1-k^2)} ← ×
正:=2a^2-2a^2{2-k^2-2√(1-k^2)}

> =a^2{k^2+2√(1-k^2)} ← ×
正:2a^2{k^2-1+2√(1-k^2)}

>V=2∫(0~1)a^2{k^2+2√(1-k^2)}adk ← ×
正:V=4∫(0~1) a^2{k^2-1+2√(1-k^2)}adk

> =…
> =a^3(2/3+π)  ← ×
正: =(8/3)a^3

(2)
対称性からx≧0,y≧0,z≧0の領域について表面積を求め 8倍すればよい。

D1={(x,y)|a-√(a^2-y^2)≦x≦a, 0≦y≦a} で 0≦z≦a-x
D2={(x,y)|0≦x≦a-√(a^2-y^2), 0≦y≦a} で 0≦z≦√(a^2-y^2)
表面積の公式S=∫∫[D] √{1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2}dxdyを用いて

S1=∫∫[D1] √2 dxdy=(√2)π(a^2)/4
S2=∫∫[D2]√(1+(y^2/(a^2-y^2)))dxdy
 =∫∫[D2] a/√(a^2-y^2)))dxdy
 =∫[0→a] a/√(a^2-y^2) dy∫[0→a-√(a^2-y^2)] dx
 =a∫[0→a] ((a/√(a^2-y^2)) -1) dy
 =(a^2)∫[0→a] (1/√(a^2-y^2) dy -(a^2)
 =(π/2)a^2 - a^2

Kの表面積S
 =8(S1+S2)
 =2√2π(a^2)+4π(a^2)-8a^2
={2(2+√2)π-8} a^2

(1)
>S=(a√2)^2-2・1/2・[a{1-√(1-k^2)}]^2 ← ×
間違い
正:S=(a√2)^2-4・1/2・[a{1-√(1-k^2)}]^2

> =2a^2-a^2{2-k^2-2√(1-k^2)} ← ×
正:=2a^2-2a^2{2-k^2-2√(1-k^2)}

> =a^2{k^2+2√(1-k^2)} ← ×
正:2a^2{k^2-1+2√(1-k^2)}

>V=2∫(0~1)a^2{k^2+2√(1-k^2)}adk ← ×
正:V=4∫(0~1) a^2{k^2-1+2√(1-k^2)}adk

> =…
> =a^3(2/3+π)  ← ×
正: =(8/3)a^3

(2)
対称性からx≧0,y≧0,z≧0の領域について表面積を求め 8倍すればよい。

D1={(x,y)|a-√(a^2-y^2)≦x≦a, 0≦y≦a} で 0≦z≦a-x
D2={(x,y)|0≦x≦a-...続きを読む


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