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dy/dx + y*sinx = sinx*cosx の微分方程式を解けという問題なのですが、
予習の段階でこれを出題されて、教科書を見ても例題がみつからず困っています
どうか教えてください。よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

まず、問題の微分方程式の右辺が 0 のとき dy/dx + y*sinx = 0 を解きます(両辺を y で割って積分すれば解けます)。


その解は積分定数を C として
   y = C*exp{ cos(x) }
になりますが、この C を x の関数 C(x) として
   y = C(x)*exp{ cos(x) } --- (1)
として元の微分方程式に入れると、C(x) に関する微分方程式
   dC/dx = sin(x)*cos(x)/exp{ cos(x) }
が得られますから
   C(x) = ∫sin(x)*cos(x)/exp{ cos(x) } dx
となります。この積分は t = cos(x) と置いて、部分積分法を適用すれば計算できます。C(x) あ決まったら (1) から y(x) が求められます。

問題の微分方程式の解は
   y(x) = 1 + cos(x) + A*exp{ cos(x) }
となります(A は定数)
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右辺が0の場合を考えます。



dy/dx + y*sinx = 0・・・・(1)

dy/dx =- y*sinx・・・・・(2)

両辺にdxをかけます。

dy =-( y*sinx)dx・・(3)

両辺に1/yをかけて変数分離形にします。

dy/y=-(sinx)dx・・・(4)

両辺を積分します。

logy =ー∫[sin(x)} dx=cosx・・・(5)

積分常数をCとして
y=C*exp{cos(x)}・・・・(6)
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