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a,b,cは正の整数とする。
a^2+b^2=c^2 をみたし、かつaとbの差が1であるような組(a,b,c)は無数に存在することを示せ。


※背理法による解法があれば教えてください。

A 回答 (3件)

この手の問題では、背理法に持ち込むは余り賢くない。


無理やり背理法に持ち込めないこともないが、かなり「醜い回答」だと思うけどな。

背理法が有用なのは、直接証明が難しそうな場合に限られると思うけどなあ。
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ramayanaさんの回答と本質的には一緒だけどこうやる。



x(n)={(1+√2)^n +(1-√2)^n}/2、y(n)={(1+√2)^n -(1-√2)^n}/(2√2)
とおく

C(n,i)を二項係数とすると
x(n)=Σ_[iは0以上の整数]C(n,2i)2^i、y(n)=Σ_[iは0以上の整数]C(n,2i+1)2^i
とかけるからx(n)、y(n)は正の整数である。

とくに、nが奇数のとき
n=2m+1とおくと、{x(2m+1)}^2 -2{y(2m+1)}^2={4(-1)^(2m+1)}/4=-1

{x(2m+1)}^2 =2{y(2m+1)}^2 -1
明らかに右辺は奇数だから、左辺の{x(2m+1)}^2は奇数である。
したがって、x(2m+1)は奇数である。

このとき明らかに{x(2m+1)}^2 +1={y(2m+1)}^2
a={x(2m+1)+1}/2、b={x(2m+1)-1}/2、c=y(2m+1)とおくと…♪
a^2 +b^2=({x(2m+1)}^2 +1)/2={y(2m+1)}^2=c^2となる。

0以上の整数mは無数にとれるから、当然♪の整数a,b,cは無数に取れる。
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  [1] a^2+b^2 = c^2



において

  b = a+1
  x = 2a+1
  y = c

と置けば、

  [2]  x^2-2y^2 = -1

となります。

[1]の解と[2]の解は1対1に対応するので、[2] の解が無数に存在することを示せば十分です。

以下、2の平方根をwで表します。nを奇数として、

  [3] (1+w)^n = x+wy

となるようにxとyを定めます。すると、

  (1-w)^n = x-wy

なので、

  x^2-2y^2 = (x+wy)(x-wy )= (1+w)^n×(1-w)^n =(1-2)^n = -1

となります。したがって、[3]式で得られるx,yが、すべて[2]の解になります。異なるnに対応するx,yが異なるので、このようなx,yは無数に存在します。

ちなみに、n=1とすれば、x=1、y=1なので、a=0、b=1、c=1となります。n=3とすれば、x=7、y=5なので、a=3、b=4、c=5となります。

なお、[2]のような方程式は、Pell方程式と呼ばれ、古くから解き方が知られているものです。
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