A 回答 (3件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.3
- 回答日時:
この手の問題では、背理法に持ち込むは余り賢くない。
無理やり背理法に持ち込めないこともないが、かなり「醜い回答」だと思うけどな。
背理法が有用なのは、直接証明が難しそうな場合に限られると思うけどなあ。
No.2
- 回答日時:
ramayanaさんの回答と本質的には一緒だけどこうやる。
x(n)={(1+√2)^n +(1-√2)^n}/2、y(n)={(1+√2)^n -(1-√2)^n}/(2√2)
とおく
C(n,i)を二項係数とすると
x(n)=Σ_[iは0以上の整数]C(n,2i)2^i、y(n)=Σ_[iは0以上の整数]C(n,2i+1)2^i
とかけるからx(n)、y(n)は正の整数である。
とくに、nが奇数のとき
n=2m+1とおくと、{x(2m+1)}^2 -2{y(2m+1)}^2={4(-1)^(2m+1)}/4=-1
{x(2m+1)}^2 =2{y(2m+1)}^2 -1
明らかに右辺は奇数だから、左辺の{x(2m+1)}^2は奇数である。
したがって、x(2m+1)は奇数である。
このとき明らかに{x(2m+1)}^2 +1={y(2m+1)}^2
a={x(2m+1)+1}/2、b={x(2m+1)-1}/2、c=y(2m+1)とおくと…♪
a^2 +b^2=({x(2m+1)}^2 +1)/2={y(2m+1)}^2=c^2となる。
0以上の整数mは無数にとれるから、当然♪の整数a,b,cは無数に取れる。
No.1
- 回答日時:
[1] a^2+b^2 = c^2
において
b = a+1
x = 2a+1
y = c
と置けば、
[2] x^2-2y^2 = -1
となります。
[1]の解と[2]の解は1対1に対応するので、[2] の解が無数に存在することを示せば十分です。
以下、2の平方根をwで表します。nを奇数として、
[3] (1+w)^n = x+wy
となるようにxとyを定めます。すると、
(1-w)^n = x-wy
なので、
x^2-2y^2 = (x+wy)(x-wy )= (1+w)^n×(1-w)^n =(1-2)^n = -1
となります。したがって、[3]式で得られるx,yが、すべて[2]の解になります。異なるnに対応するx,yが異なるので、このようなx,yは無数に存在します。
ちなみに、n=1とすれば、x=1、y=1なので、a=0、b=1、c=1となります。n=3とすれば、x=7、y=5なので、a=3、b=4、c=5となります。
なお、[2]のような方程式は、Pell方程式と呼ばれ、古くから解き方が知られているものです。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 2次以上の多項式g(x)であって, 任意の無理数に対して無理数の値を取るものは存在しないことを示せ. 8 2022/06/27 11:28
- 数学 【 数A 順列 】 問題 6個の数字0,1,2,3,4,5,を使ってできる次 のような整数は何個ある 7 2022/06/19 12:33
- 大学受験 整数問題 Nを正の整数とする。 N+18がN+2の倍数となるようなNの値の個数を求めたい。 解説に、 1 2022/08/13 12:25
- 数学 某大学の数学入試問題で、フェルマーの定理絡みの問いがありました。 9 2023/02/14 08:35
- 数学 (1) 方程式 65x+31y=1の整数解をすべて求めよ。 (2) 65x+31y=2016 を満た 1 2022/06/29 11:02
- 数学 順序集合における「反射律」の役割について 9 2022/05/09 23:01
- 数学 Zを整数の加法群とする。 M={7,8}はZの生成形になることを示せ。(Z=〈7,8〉となることを示 3 2022/11/20 22:14
- 数学 【数A 集合の要素の個数】 問題 100から200までの整数のうち, 3の倍数でない整数は何個あるか 3 2022/07/18 13:07
- 数学 【 数A 集合の要素の個数 】 問題 100から200までの整数のうち, 5の倍数であるが,3の倍数 5 2022/07/18 13:33
- 数学 上三角行列のn乗の証明 2 2023/07/23 21:45
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
数学についてです 「 aを定数と...
-
d^2x/dt^2 + x = cos(ωt)の求め方
-
cos x = 0の解の書き方について
-
tanX=Xの解
-
Excelで合計値を基にデータを均...
-
16の4乗根は±2ではない!?
-
微分の重解条件は公式として使...
-
無数の解が存在する=すべての...
-
微分方程式
-
複数の品目での単価と全体の合...
-
答えを教えて
-
a,bを定数とする。 三次方程式x...
-
数学I 二次方程式について次の...
-
高1の問題です!!
-
3次方程式
-
微分方程式の解を、微分方程式...
-
熱伝導方程式の解法
-
連立方程式の解の集合が部分空...
-
3次方程式の定数の範囲の問題で...
-
微分方程式 定常解について・・・
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
高校数学の整数問題です。
-
Excelで合計値を基にデータを均...
-
答えを教えて
-
数学II 三次方程式 x^3-5x^2+ax...
-
解なし≠解はない
-
複数の品目での単価と全体の合...
-
微分の重解条件は公式として使...
-
16の4乗根は±2ではない!?
-
x^y=y^x (x>y)を満たす整数解は...
-
解に3つ以上±や∓がある時複号...
-
点P(x+y、xy)の軌跡を求めよ。...
-
一枚の板から何枚取れるか?
-
3次関数と直線が接する場合、...
-
数学についてです 「 aを定数と...
-
aの値に関係なくとよく問題で見...
-
2次方程式X^2-3X-1=0の2つの...
-
なんで4次方程式f(x)=0がx=2を...
-
何故グラフに接するとき重解に...
-
3次関数と1次関数が接するとき
-
2次方程式の2解がともに0と3の...
おすすめ情報