集合のユニークな要素数の数式表現について

集合のユニークな要素数(重複する要素を除いた後の要素の数)を数式表現したいのですが、
どのように表現すれば良いのかわかりません。

例えば、集合A={1, 2, 1, 2, 3}の場合だと、
1,2,3の”計3個”を数式で表現(定義)したいです。

もちろん、単純な要素数なら、|A|といった形式で表現できますし、
集合の中での唯一の要素の数(上の例だと「3」の1個)であれば、
条件式とセットで容易に表現できると思うのですが、
ユニークな要素の数となると、うまく表現できずに困っています。

どなたかお知恵を拝借できないでしょうか。

よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： boiseweb 回答日時： 2010/12/29 17:13

質問の「問題の定義」をはっきりさせてくれないと，回答に困ります．

まず，前提として，数学での通常の用語として「集合」と称した時点で，要素の「重複」は一切あり得ません，というか，議論することが不可能です．
{1,2,3} も {1,2,1,2,3} も {1,1,1,2,2,2,2,2,3,3} も，どれも「同一の集合」の異なる表現です．したがって，A={1,2,1,2,3} と宣言したら，その時点で A={1,2,3} も A={1,1,1,2,2,2,2,2,3,3} も同時に成立します．
|A| という記号が表すのは，集合Aそのものが保持している固有の情報としての「要素の数」です．集合Aを {1,2,3} と表そうと {1,2,1,2,3} と表そうと {1,1,1,2,2,2,2,2,3,3} と表そうと，要素の数が3であることは不変です．「Aを書き表したときの見かけの要素数」は，Aの具体的な書き表し方によって変わってしまうので，Aが保持する固有の情報とはいえません．
「集合Aを『たまたま』『誰かがどこかで』A={1,2,1,2,3} という式で書き表した」としても，集合Aが定められた後では，「（重複を含めて）見かけ上5個の要素を書き並べてAを書き表した」という情報は無効になる（集合Aはその情報を保持しない）のです．Aが保持する情報は「持っている要素は1,2,3の3個だ」ということだけで，（書き表したときに）要素の重複があったかどうかという情報は一切無効化されます．集合とはそういうものです．

「A={1,2,1,2,3} とすると |A|=5」という主張は，|A| という記号の解釈を誤っているだけでなく，「そもそも集合Aは『5』という情報を保持していない（それをAから取り出すことは不可能）」という意味で根本的におかしいです．

したがって，「要素の重複」を考えに入れて議論しようとするなら，「集合」を使って議論するのではダメで，multiset（要素の重複を考えに入れる集合概念の拡張）なり，リスト（列）なり，集合とは異なるデータ形式でもって対象を表現しなければなりません．

以上の前提をふまえて，質問の意図を推し量ると，たぶん，次のどちらかでしょう．
(1) A を『multisetとして』A={1,2,1,2,3} （1,2は重複度2，3は重複度1でAに属する）と定めるとき，Aの「重複を含めた要素数」(5)と「ユニークな（重複を除いた）要素数」(3)を表すための『記法』は何か？
(2) 〈1,2,1,2,3〉というリスト（列）が具体的に与えられたとき，重複を含めた要素数(5)はリストの長さと一致するから容易に得られるが，「ユニークな要素数」(3)の情報を得るための手続き（アルゴリズム）はどのように記述できるか？

(1)については，multisetの理論で確立された記法の習慣があれば，それに従えばよいでしょう（multisetの理論でどんな記法の習慣があるのか，私は知りませんし，調べる意欲もありません）．あるいは，定義をはっきり述べたうえで，独自に記法を導入するという方法もあるでしょう．
新しい記号を導入しないでなんとか書こうとするなら，「そもそもmultisetを既存の数学概念でどう記述するか」を決める必要があります（すでに述べた理由で「集合」を使うのではダメです．たぶん，数列を使うとか，写像のtargetとして表すとかでしょう…）．「ユニークな要素数を式で表す」のは，multisetの記述方法を決めた後の話です．

質問の意図が(2)だとしたら，プログラミングの演習問題みたいなものですから，自分で考えてください．

この回答へのお礼

ご丁寧な回答ありがとうございました。

質問内容は指摘いただいた(1)に近いと思いますが、
multisetの理論に踏み込む以前に、
私が「集合」の定義を勘違いしていました。
(他の方がコメントされていた通りです。)

他の方からの回答も非常に役に立ったのですが、
回答が最も丁寧だったのでベストアンサーに選ばせて頂きます。
(他のコメントをいただいた皆様、すみません。)

ありがとうございました。

お礼日時：2011/01/06 17:34

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2010/12/31 02:29

濃度の概念は、集合間の全単射によって定義します。

要素数というのは、有限な濃度の別称です。

二つの集合 A と B の間に全単射な写像が存在するとき、
「A と B は濃度が等しい」と言い、|A| = |B| と書きます。
また、C_n = { 0, 1, 2, …, n-1 } という集合の族を考え、
|A| = |C_n| のことを |A| = n と略記します。

これが、要素数 |A| の定義ですが、
「数式で表現(定義)」するのは難しいと思います。
全単射の存在は論理式で書けるとしても、
C_n に普遍的な名称がないし、
C_n から n への写像にも普遍的な名称がない。

上記のように自然言語で書いたほうが、早いですよ。

No.4 回答者： noname#125931 回答日時： 2010/12/29 15:24

1と3で誤った/混乱を招く回答をしてしまいました。

A={1,2,1,2,3}なら2の方の言うとおり|A|=3だと思います。
集合の要素の数は「ユニークな要素の数」として定義されています。

質問されている方はA={a_i: i∈I}の形の集合の場合に|A|=|I|と思っているように見受けられます。
上の例ならI={1,2,3,4,5}で|I|=5ですが|A|={1,2,3}です。

No.3 回答者： noname#125931 回答日時： 2010/12/28 19:55

1は勘違いでした。

結局|f(I)|ですね。
Iがたかだか加算なら♯{jεJ:j=f(i) for some iεI}のように書くのでしょうか。
あまり意味はありませんが。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/12/28 19:36

何か勘違いをしているようですが、

A =｛ 1, 2,1,2, 3 ｝のとき、
｜A｜= 3 です。｜A｜= 5 ではありませんよ。

No.1 回答者： noname#125931 回答日時： 2010/12/28 19:16

問題にされている集合は、添字付けられた系、A={A_i}_{iεI}に限定されると思います。

これを族として見るなら、写像f:I→Jとも捉えることができます。
各iεIについてf(i)=A_iで定義するのです。
問題の要素数（一般には濃度）は、|f^{-1}(J)|だと思います。