今相対論の勉強しはじめたようなとこなんですがテンソルというのがでてきました(メトリックテンソル)。だけどいまいちピンときません。結局テンソルって何なんですか?何に使うんですか?全然わかってません。誰か教えてください。お願いします。
(ちなみに一般相対論はまだ勉強してません。)

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A 回答 (3件)

今、相対論の本を見ておられるならテンソルには添え字がついていますよね。


n個の添え字がついているものをn階テンソルといいます。

スカラー、ベクトルなどもテンソルの1種です。
・スカラーは0階テンソル(添え字0個)
・ベクトルは1階テンソル(添え字1個)
・行列は2階テンソル(添え字2個)
といったふうです。

例えば、相対論では添え字はそれぞれ
0~3(1~4となっているかもしれませんが)までの値をとるので
スカラーは4^0=1個
ベクトルは4^1=4個
行列は4^2=16個
n階テンソルは4^n個の成分を持ちます。

テンソルって何?とのことですが
数学的な定義等の難しいことは置いておくとして
実用的な面では何本もの方程式を一まとめに書ける便利なもの
と言うような認識で良いのでは。
ただし、物理ではあるテンソルの方程式があったとしても
独立な式がその方程式に出てくるテンソルの成分の
個数だけあるとは限らないので注意してください。

また、添え字の上付き下付きなどの違いは
例えばベクトルでは縦ベクトルと横ベクトルの違いになります。
反変、共変、縮約の計算などになれるまでは大変だと思いますが頑張ってください。
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この回答へのお礼

私の一番わからないツボをついたご説明ありがとうございます。思わずコピーしてしまいました。確かに複数の方程式が書けますよね。どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/04/17 05:22

失礼しました。



先程の、「x.y.z成分毎にその行列が異なります」以下は、誤りですので、取り消します。
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このカテゴリには専門家が何人もおられ、私のようなシロートが発言するのには、やや躊躇があります。

ですから、私が実際に仕事で使った経験があるものに限定します。

1)応力テンソル(構造解析などで使用)
2)曲率テンソル(曲面の微分幾何的取り扱いで使用)
3)パラメトリック3次曲面を表現するための行列

がそうです。私の理解に間違いがなければ、

■テンソルとは、成分がベクトルであるような行列である

いうことです。厳密な定義は違うかもしれないです。相対論に出てくるテンソルも「曲率テンソル」ではなかったかな?(自信なし、専門家の方のフォローお願いします!)

これでは、なんのことかさっぱり分からんでしょう。

上の中でも一番経験の長い、3)を例にとって説明します。

パラメトリック3次曲面では(0<=t<=1)なるパラメータに対して、曲面の位置ベクトル、接線ベクトル、曲率ベクトル、捩率ベクトルが一意に決るのですが、一番分かり易い「位置ベクトル」の話にしましょう。

パラメータ「t」を任意に与えます。すると、x,y,zを一意に決めるには、ベクトル
(t^3、 t^2, t, 1)に対して、ある行列を掛けるのですが、x.y.z成分毎にその行列が異なります。ある一成分、たとえば、x成分だけに着目すれば、行列の成分はスカラーです。より狭く言うと、実数値です。

しかし、x,y,z全部表わすのに、行列を3種類も用意するのは馬鹿げています。そこで行列の成分が、スカラーではなく、各々、x,y,z3成分あると考えると、行列は一つで済みます。

ただ、実際のプログラムでは、上で説明したテンソルの形とはまた違った格納方法になります。これと、先程の「(t^3、 t^2, t, 1)」なるベクトルを掛け合わせて実際の位置を求めています。
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この回答へのお礼

なるほど!親切なご説明どうもありがとうございます。テンソルは実際の仕事に使われるほど重要な概念なんですね。

お礼日時:2001/04/17 05:17

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テンソルについて教えて下さい。

2階のテンソルやn階のテンソルですが、これは3×3の正方行列以外のものもあるのですか?
何件か資料を調べてみたのですが、どれも3×3の正方行列での説明で気になりました。

例えば、2×2や2×3の行列は2階のテンソルと言えるのでしょうか?

もう一点教えて下さい。
1階のテンソルの例も3次の列ベクトルでした。
例えば、
(a1)
(a2)
のように2次の列ベクトルは1階のテンソルと言えるのでしょうか?
また、列ベクトルではなく
(a1 a2)と行ベクトルも1階のテンソルと言っていいのでしょうか?

以上、ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

ベクトルは1階のテンソルです。
そして、
スカラーは0階のテンソルでございます。

普通、テンソルは、3×3ですけれど、2×2もあれば、4×4もあります。
1×1でも構いやしない(ニコニコ)。

QQM、相対論的QM、QEDと場の量論の違い

量子力学、相対論的量子力学、量子電磁力学と場の量子論についての違いを教えてください。

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誰も回答されないようなので、、、

これは、知ってる人には当たり前、知らない人には、説明のしようがない質問ですね^^;
単に量子力学というと、非相対論的量子力学 をさします。
まず、全エネルギーHを、運動エネルギーT+ポテンシャルV とすると、
古典力学では、T=1/2 mv^2=1/2m P^2
相対論では エネルギーE=mc^2 は、E^2=(Pc)^2 + (m0c2)^2 と同じです。
古典力学の全エネルギーH=1/2m P^2 + V を、そのまま演算子としたのが、
量子力学(非相対論的量子力学)

相対論的量子力学は、
E^2=(Pc)^2 + (m0c2)^2 をベースに、そのまま演算子としたのが、
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場の量子論にも、一応、
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場の量子論は、多粒子系の量子力学と同等ですが、多粒子系のままでは、都合が悪いので、
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大まかに書けば、、、
φ(x)・π(x)の積分-π(x)・φ(x)の積分=ih' δ関数
φ(x)・π(x)の積分+π(x)・φ(x)の積分=ih' δ関数
とします。
上の場合から、ボース粒子が、下の場合からフェルミ粒子が出てきます。

相対論的場の量子論は、理論的には、どんな粒子にも適用できます。
ただし、現実には方程式が解けない場合がたいていで、
電子と光子の場について、朝永、シュウィンガーらが、やっと解きました。
これが、QEDです。
あと、電子と光子とWボソンの場について解いたのが、電弱理論です。
全ての素粒子についての場の量子論は、標準理論といいますが、
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知ってる方へ:
場の量子論では基本変数を、場φ(x)と、その共役運動量場π(x)で現し、、、、
というのは、清水明「新版 量子論の基礎」からの抜粋です。
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Q慣性行列(テンソル)について

長さh、半径r、密度p、の円柱の質量中心まわりの慣性テンソルを求めよ。ただし、長手方向をz軸とする.

という問題なので、図を描いてやっているのですが、どこから手をつけていいのかも分からない状態です。図を描いてやっているのです。

Aベストアンサー

ヒントを。。。
力学のテキストをよくご覧になられると慣性テンソルは
I11=∫(y^2+z^2)dm,I12=-∫xydm,I13=-∫zxdm
I21=-∫xydm,I22=∫(z^2+x^2)dm,I23=-∫yzdm
I31=-∫zxdm,I32=-∫yzdm,I33=∫(x^2+y^2)dm
(ただしdm=ρdxdydz)と書かれていますね。ここで剛体に固定した新しい座標軸(慣性主軸)をうまく選んでやると非対角成分を0にすることができ(←主軸変換),この結果慣性テンソルは次のように簡単化されます。
A=I'11=Ix=∫(y'^2+z'2)dm,B=I'22=Iy=∫(z'^2+x'2)dm,C=I'33=Iz=∫(x'^2+y'2)dm
ここでA,B,Cは主慣性モーメントと呼ばれます。
具体的なケースを見ましょう。
○板状の物体の場合:板面に直角にz軸をとり,板面内(z=0)に直角にx,y軸をとると,このx,y,z軸は慣性主軸となります。慣性モーメントは
Ix=∫y^2dm,Iy=∫x^2dm,Iz=∫(x^2+y^2)dm=Ix+Iy
○回転対称軸を持つ場合:回転対称軸をz軸にとり,それに直角にx,y軸をとるとx,y,z軸は慣性主軸となり,この場合Ix=Iy=∫(y^2+z^2)dm=∫(x^2+y^2)dmとなります。
ご質問のケースは回転対称軸をもつ場合にあたります。慣性モーメントを求める具体的な計算は力学のテキストを参照されるか,参考URLの力学のページを参照されればよいでしょう。

参考URL:http://www14.plala.or.jp/phys/

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(ただしdm=ρdxdydz)と書かれていますね。ここで剛体に固定した新しい座標軸(慣性主軸)をうまく選んでやると非対角成分を0にすることができ(←主軸変換),この結果慣性テンソルは次のように簡単化されます。
A=I'11=Ix=∫(y'^2+z'2)dm,B=I'22=Iy=∫(z'^2+x'2)dm,C=I'33=Iz=∫(x'^2+y'2)dm
ここでA,...続きを読む

Q一般相対論の計量テンソルについて

こんにちは、

下記HPのP6を見ますと

g_μν g^μν=D

となっております。Dは次元のことです。

この関係は、平らな ミンコフスキー空間では成立しますが

一般相対論の曲がった時空でも成立するのでしょうか?

逆に言いますと、曲がった時空の計量テンソルは、この関係を満たす

必要があるのでしょうか?

http://members3.jcom.home.ne.jp/nososnd/field/dim.pdf

Aベストアンサー

きちんとお示しのファイルを読むのは大変そうなので、読まなくてもわかる部分だけにします。

① 至るところでお示しのような計量テンソルになっているケースを考えているのなら、単にミンコフスキー時空で"斜交座標系"を設定しているに過ぎません。(つまり重力はどこにもありません)
したがって、物理的に意味のある量を計算しているのであれば、斜行座標系でも同一の結論になるはずです。


g^μνg_μν=4は定義から導出されるので、1+3次元の時空を考える限り4以外の値になることは決してありません。
ならなかったのなら、計算ミスか一般的な定義とは違う意味でg_μνなどの記号をもちいているかのいずれかでしょう。


回答をきちんと読んで下さい。

Q応力テンソル

応力テンソルってそもそもなんですか?教えて下さい。
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また、応力テンソル(3×3行列)か何が読みとれるのですか?

Aベストアンサー

再びNo.1です。
>テンソルの中に3つの不変量があると僕のプリントに書いてあるのですが

テンソルの主値すなわちd11,d22,d33の成分だけの応力テンソルによるものです。下記のHPを参照して下さい。

参考URL:http://topgun.gaea.kyushu-u.ac.jp/~kame/seismology/text/node12.html

Q一般相対論の平方根のようなものはないのでしょうか?

こんにちは、
ディラックはこのクライン・ゴルドン方程式の平方根のようなものを求めました。
http://www.sf-fantasy.com/magazine/column/quantum/200411.shtml

一般相対論の平方根のようなものはないのでしょうか?

Aベストアンサー

質問の意味がよくわかりませんが、要するに
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ということですか?

四脚場というのがあるらしいんですが、私もよくわかりません。

Q慣性テンソル

慣性テンソルや慣性乗積、慣性主軸について言葉で物理的に説明してくれませんか?行列の表示の仕方や、慣性テンソルの求め方は分かるのですが、物理的な意味がいまいち分かりません。どなたか教えて下さい!!

Aベストアンサー

>言葉で物理的に説明して<

テンソルを数行や数十行の文章で分からせる事ができるのならとっくに教科書がそう書いています。 「行列表示や求め方はできる」のなら初戦突破してるのでさらに場数を踏んで貴方の中で概念を築き上げましょう。
なお、
慣性乗積は、
例えば速度ベクトルVを適当な直交座標に射影した場合、座標軸の一本をVと一致させれば、他の軸への影は無いですよね、
性乗積はこの「他の座標への影」のようなもので、主軸をピタリと捉えればオールゼロで埋まる成分です。

Q一般相対論の本

場の量子論を学んでいるのですが、一般相対論の本としてはどんなものがお勧めですか?佐藤勝彦著相対性理論をずいぶん前に読んで以来何も手をつけていないので、次のステップとして何を読もうか迷っています。(今のところWald著general relativityなんかを読もうかと思っていますが、独学でやるので若干不安です。)

Aベストアンサー

目的とは,理論か実験かとかではなく,量子重力をやるとか,教養のために勉強するとかと言う意味だったのですが...
入門書なら「時空と重力」藤井 著などを薦めますが,技重力を量子化するような専門分野になるとまったくわかりません.丸善などの大きな本屋で手にとって確認されればいいのではと思います.

Qテンソル

数学や物理学の本を読んでもテンソルの
意味が良く分かりません。

高校のときに、読んだ数学の本で
テンソルとは、行列を高さの方向
(平面と垂直に)積み上げたものだ
というのを見たことがあります。

このような定義でいいのでしょうか。

Aベストアンサー

>テンソルとは、行列を高さの方向
>(平面と垂直に)積み上げたものだ

>このような定義でいいのでしょうか。

テンソル( Tensor )の定義は,この様なものではありません.

質問者さんの言う【テンソルとは、行列を高さの方向(平面と垂直に)積み上げたものだ】

は,定義というより,むしろ,テンソルの感覚的なイメージです.

テンソルを説明する文献などでは,いきなり,スカラー,ベクトル,計量テンソル,・・・,等の言葉で始まるものが多いので,勉学者は煙に巻かれるのです.

要するに,添え字を付けて書き分ける量を,テンソルと呼びます.

では,添え字さえ付ければ,何でもテンソルなのか? と言うと,そうではありません.

テンソルであるためには,ある性質(条件)を満たす必要があり,それを変換則と言います.

変換則を詳しく,ここで説明するわけにもいきませんので,テンソルと変換則の正確な定義は,下記のサイトで確認して下さい.

テンソル    Tensor   (PDF)
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB.pdf

テンソルの概念
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/TensorConcept/

>テンソルとは、行列を高さの方向
>(平面と垂直に)積み上げたものだ

>このような定義でいいのでしょうか。

テンソル( Tensor )の定義は,この様なものではありません.

質問者さんの言う【テンソルとは、行列を高さの方向(平面と垂直に)積み上げたものだ】

は,定義というより,むしろ,テンソルの感覚的なイメージです.

テンソルを説明する文献などでは,いきなり,スカラー,ベクトル,計量テンソル,・・・,等の言葉で始まるものが多いので,勉学者は煙に巻かれるのです.

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Q相対論のテンソルについて

今、相対論でテンソルの勉強をしているものですがテンソルがいまいちよくわかりません。そこで質問なのですが
1・基本テンソル(二階の上つきでも下つきでも(g^μνとか))って基本ベクトルの内積なんですよね。じゃあスカラーなんじゃないんですか?

2・混合テンソルの基本テンソルは
上つき基本ベクトルと下つき基本ベクトルの内積と考えていいんですか?

何かとわからないところが多くて困ってますどうかわかりやすいご説明お願いいたします。

Aベストアンサー

内積ではなくて直積ではないでしょうか?
下記URLを参照してみてください

参考URL:http://homepage2.nifty.com/einstein/contents/relativity/contents/relativity2157.html


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